第四章__矩阵的分解课件.ppt

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1、第四章矩阵分解主要内容三角分解QR分解满秩分解奇异值分解Gauss消去法Gauss消去法的矩阵形式：求解矩阵方程Ax=b可采用Gauss主元素消去法。其基本思想是化系数矩阵A为上三角矩阵，或化增广矩阵[A

2、b]为上阶梯形矩阵。这种消去法有三种形式：按自然顺序选主元素法，按列选主元素法总体选主元素法。步骤1：设A(0)=A，其元素aij(0)=aij，若A的1阶顺序主子式1=a11(0)0，令ci1=ai1(0)/a11(0),构造矩阵，则计算A(1)=L1-1A(0),其第一列主元素下的元素全为零，而A(0)=L1A(1)；设步2.若A的2阶顺序主子式2=a11(0)

3、a22(1)0，令ci2=ai2(1)/a22(1),构造矩阵L2=，，则计算A(2)=L2-1A(1),其前两列主元以下的元素全为零；重复上述过程，在步n-1后得到的A(n-1)为上三角阵。…矩阵三角分解定义：若方阵A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，则称A可以作三角分解或LU(LR)分解。若A=LDU，其中L为单位下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，D为对角矩阵，则称A可以作LDU分解。定理：满秩n阶矩阵A可作三角分解的充要条件证明：必要性，设A=LU充分性：对A的阶数用数学归纳法：n=1:归纳假设：n=k时结论成立Lk,Uk可逆当n=k+1时定理：A可作三角分

4、解用构造法证明：三角分解的唯一性定理：可作三角分解的充要条件，也是有唯一的Doolittle分解、唯一的Crout分解及唯一的LDU分解的充要条件：Doolittle分解Crout分解证明：可逆可逆可逆可逆再证唯一性。设A有两个LDU分解以同时左乘上式两边，以同时右乘上式两边：主元素LU分解避免由于主对角线元素为0使分解过程无法继续保证计算精度消元过程回代过程矩阵三角分解的应用若矩阵A存在三角分解A=LU，则求解线性方程组即可转化为消元过程和回代过程Cholesky分解对于正定实对称矩阵，其各阶主子式都大于零，因此有唯一LDU分解A=LDU=AT=UTDLT于是L=UT，由

5、正定性知，D的每个元素大于零，因此存在对角阵H，使得D=H2，令G=LH，则A=GGT称此分解为正定实对称矩阵的Cholesky分解Cholesky分解算法(一)令A=(aij)，G-(gij)为下三角矩阵，则由A=GGT可得：因此递推公式Cholesky分解算法(二)令A=(aij)，D=diag(d1,d2,…,dn)，L-(lij)为下三角矩阵，则由A=LDLT可得：递推公式：Cholesky分解的应用例1自适应有限脉冲响应数字滤波器可表示为则有Cholesky分解的应用例2AR随机过程参数估计则有分块矩阵的块三角分解矩阵A的块LU分解、块LDU分解和块UL分解分别为

6、其中=A22-A21A11-1A12和=A11-A12A22-1A21分块矩阵的块三角分解于是有：例：设，，则有det(Im+AB)=det(In+BA)证明：注：若，则有矩阵的QR分解定义：如果实(复)非奇异矩阵A能够化成正交(酉)矩阵Q与实(复)非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称为A的QR分解矩阵的QR分解的三个常用方法：（1）基于G-S正交化；（2）基于Givens旋转；（3）基于Householder变换。矩阵的QR分解定理：设A是n阶实(复)非奇异矩阵，则存在正交(酉)矩阵Q和实(复)非奇异上三角矩阵R使A=QR；且除去相差一个对角元素的绝对值(模)全

7、等于1的对角矩阵因子外，QR分解是惟一的．证明：设A=(α1,α2,⋯,αn)，其正交化向量序列为即令则A=QR，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。再证唯一性，设有两个Q-R分解：A=QR=Q1R1则由：R1R-1=Q1-1Q，知R1R-1既是上三角矩阵又是正交矩阵，因此必然是对角矩阵，且对角线元素的绝对值为1。QR分解推广定理设A是m×n列满秩实(复)矩阵，则A有QR分解A＝QR，其中Q是m×n实(复)矩阵，且满足QTQ=I(QHQ=I)，R是n阶实(复)非奇异上三角矩阵．该分解除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外是唯一的。定义:设实数c与s满足c2+s

8、2=1，称为Givens矩阵(初等旋转矩阵)，Givens矩阵确定的线性变换称为Givens变换．当c2+s2=1时，存在角度，使得c＝cos，s＝sin。Givens变换ijGivens矩阵的性质性质1Givens矩阵是正交矩阵，且detTij=1和[Tij(c,s)]-1=[Tij(c,s)]T=Tij(c,-s)。性质2设x=[1,2,…,n]T，y=Tijx=[1,2,…,n]T，则有i=ci+sj，j=-si+cj，k=k(ki,j).当i2+j20时，选取c=