第四章矩阵分解

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1、北京科技大学矩阵分解2011年9月29日刘冀伟3.1矩阵的LU分解定义3.1.1方阵ACnn，存在下三角形矩阵LCnn，上三角形矩阵UCnn，称A可做LU分解。定理3.1.1ACnn，rankA=n，则A可作LU分解的充要条件是A的k阶(k=1,2,…,n-1)顺序主子式不为零。定理3.1.2ACnn，rankA=r≤n，A的k阶(k=1,2,…,r)顺序主子式不为零，则A可作LU分解。3.1矩阵的LU分解定义3.1.2方阵ACnn，rankA=n；如果A=LU，其中L是对角线元素

2、为1的下三角形矩阵，U是上三角形矩阵，称A可做Doolitte分解；如果A=LU，其中L是下三角形矩阵，U是对角线元素为1的上三角形矩阵，称A可做Crout分解；如果A=LDV，其中L是单位下三角矩阵，D是对角阵，V是单位上三角矩阵，称A可做LDV分解；3.1矩阵的LU分解定理3.1.3ACnn，rankA=n，则A有唯一的LDV分解的充要条件是Δk≠0，k=1,2,…,n-1。此时对角矩阵的元素满足d1=Δ1，dk=Δk/Δk-1,k=1,2,…,n-1。定理3.1.4ACnn，rankA=n，

3、则A有唯一的Doolitte或Crout分解的充要条件是Δk≠0，k=1,2,…,n-1。3.1矩阵的LU分解计算问题：设ACnn，rankA=n3.1矩阵的LU分解Doolitte分解的计算公式3.2矩阵的满秩分解定义3.2.1方阵ACmn，rankA=r，若存在；FCmr，GCrn，st.A=FG，则称此分解为A的满秩分解。定理3.2.1方阵ACmn，rankA=r，则A的满秩分解总是存在的。计算方法：方法一：F是P的前r列，G是Q的前r行。3.2矩阵的满秩分解方法二：例：求A的L

4、U分解3.3矩阵的QR分解定义3.3.1设uCn是单位向量，即uTu=1，则称H=I-uuT为Householder矩阵。定理3.3.1方阵HCnn是Householder矩阵，则：HH=H(Hermite矩阵)HHH=I(酉矩阵)H2=I(对合矩阵)H-1=H(自逆矩阵)detH=-1diag(Ir,H)是n+r阶Householder矩阵3.3矩阵的QR分解定理3.3.2设zCn是单位向量，则对任意xCn，存在Household矩阵H，使得Hx=αz，其中

5、α

6、=‖x‖2，且αxHz为实数。

7、定理3.3.3方阵ACnn，有A=QR，其中Q为酉矩阵，R为上三角矩阵。3.4矩阵的奇异值分解定义3.4.1设A,BCmn是两个复矩阵，若存在酉矩阵U，V使得UHAV=B，则称A与B是酉相抵(酉等价)的。定义3.4.2设ACmn是复矩阵，B=AHA为Hermite矩阵，B特征值的平方根称为A的奇异值。定理3.4.1B=AHA的特征值非负。定义3.4.3设ACnn是复矩阵，称A为正规矩阵，如果有AAH=AHA。Schur引理方阵ACnn，则存在酉矩阵U使得A酉相似于上三角矩阵。3.4矩阵

8、的奇异值分解定理3.4.2方阵ACnn，则A是正规矩阵的充要条件是A酉相似于一个对角阵。定理3.4.3方阵ACmn，则存在酉矩阵P,Q使得其中D=diag(d1,d2,…,dr)，d1≥d2≥…≥dr>0，d1,d2,…,dr是A的奇异值，r=rankA