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1、第4章矩阵的因子分解（MatrixFactorizationandDecomposition）教学要求掌握矩阵的满秩分解；掌握矩阵的三角分解；掌握矩阵的正交分解；掌握Schur定理和正规矩阵的定义；熟练掌握矩阵的奇异值分解；数据集中可能包含大量特征，维灾难使得数据分析很困难，1.维归约（降维）：利用旧属性的线性组合得到新属性，使得新属性相互正交，捕获到数据的最大变差（PCA：主成分分析(principlecomponentsanalysis)和SVD）2.选择特征子集：嵌入（决策树分类其），过滤和包装（搜索，特征加权等））矩阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相
2、当重要的角色。由于变换即矩阵，所以各种分解从根本上看是各种变换，其目的是将矩阵变换成特殊的矩阵。§4.2矩阵的满秩分解满秩分解定理：设为任意矩阵，则存在使得A=BC,其中B为列满秩矩阵,C为行满秩矩阵.任一非（行或列）满秩的非零矩阵可表示为一列满秩矩阵和一行满秩矩阵的积；B的列可取为A的列的任一极大线性无关组；C可取为其行为A的行所生成的空间的基,然后用定理确定矩阵B。应用于极小最小二乘解和极小范数最小二乘解的算法中。例1求下面矩阵的满秩分解解思路：对矩阵A实施初等行变换得简化阶梯形矩阵H（阶梯型的非零行的第一个非零元为1，其所在的列其它元素为0）,取A的
3、r个使H阵满秩的列为B，将H全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵C。由此可知rank(A)=2，且该矩阵第一列、第三列是线性无关的。选取同样，我们也可以选取由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。但是不同的分解形式之间有如下联系：注：如果均为矩阵A的满秩分解，那么存在矩阵满足则称其为A的LU分解或三角分解。§4.3矩阵的三角分解定义1如果方阵A可以分解成一个单位下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积初等下三角矩阵初等下三角矩阵性质(1)det(Li)=1,(2)用初等下三角矩阵左乘矩阵A，等于将A的第i行依次乘以-li+1i,…,-lni分别加到第i+1
4、行到第n行上去。(3)设A=(aij)nn,且ajj0，并且取则LiA在(i+1,j),(i+2,j)…(n,j)的位置上为0(4)定理1(LU分解定理)设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L（主对角线上元素全为1的下三角矩阵）与唯一的上三角矩阵U，使得的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即矩阵的LU分解也称为Doolitte分解若L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵,称为Crout分解。定理2(LDU分解定理)设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2,…dn)和单位上三角矩阵U，使得A=LDU的
5、充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即矩阵的LU分解方法矩阵的LU分解方法有很多种，这里主要介绍初等行变换消元法步骤：1.通过初等行变换将A化为上三角矩阵U：（A，I）（U，L1）2.取L=：因为L1是一系列初等下三角矩阵乘积（对应初等行变换），所以L是单位下三角矩阵。例1求下列矩阵的LU分解：解：从而得这里因为所以1.即使矩阵A非奇异，如果A不满足前n-1个顺序主子式非零，未必能做LU分解，2.适当改变非奇异矩阵的行的次序，可使改变后的矩阵做LU分解，引入排列阵的概念说明定义1设e1,e2,…,en是n阶单位矩阵I的n个列向量，矩阵P=(ei1,ei2
6、,,…,ein)称为一个n阶排列阵，其中i1,i2,…,in是1,2…n的一个排列.P是排列阵的充要条件是P为一系列形如P(i,j)的初等交换矩阵的乘积.排列阵的性质：1.P是排列阵，则PT和P-1也是排列阵，且PT=P-12.P1，P2是排列阵，则P1P2是排列阵3.即：用排列阵左乘矩阵A相当于将A的行按照排列阵的次序重排，右乘对A的列按排列阵的次序重排。引理1设A是n阶非奇异矩阵，则存在排列阵P，使得PA的所有顺序主子式要条件均非零。定理3设A是n阶非奇异矩阵，则存在排列阵P，使得PA=LDU所其中L是单位下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。
7、三角方程组易于求解矩阵LU分解的一个应用——解线性方程组定理设矩阵A对称正定，则存在唯一的对角元为正的下三角阵L，使得称为对称正定矩阵A的乔累斯基分解利用乔累斯基（Cholesky）分解式来求解Ax=b的方法也称Cholesky方法或平方根法MATLAB函数：Chol(A)；lu(A)是求矩阵的LU分解函数乔累斯基（Cholesky）分解§4.4QR分解QR分解在矩阵计算中占据相当重要的地位。利用QR分解，可以解决各种应用中（例如图像压缩处理、结构分析等）出现的最小二乘问题、特征值问题等矩阵计算中的核心问题。以初等变换为工具的三角分解无法消除病态矩阵的不稳
8、定性，因此引入以正交变换为工具的QR分解方法定理1(QR分解定理)
