[理学]第四章 矩阵分解

《[理学]第四章 矩阵分解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章矩阵的分解本章我们主要讨论矩阵的四种分解：矩阵的三角分解，QR分解，满秩分解，奇异值分解。4.1矩阵的三角分解4.1.1三角分解及其存在唯一性问题定义4.1设，如果存在下三角矩阵和上三角矩阵使得A=LU，则称A可以作三角分解。北京理工大学高数教研室定理表明并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解。如不能作三角分解。北京理工大学高数教研室定义4.2将L是单位下三角矩阵的LU三角分解称为矩阵的Doolittle分解。将U是单位上三角矩阵的LU三角分解称为矩阵的Crout分解。若A=LDR，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称为

2、A的LDR分解。北京理工大学高数教研室4.1.2三角分解的紧凑计算格式北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室练习1：将分解为，其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵。练习2：将分解为，其中为正线下三角矩阵。北京理工大学高数教研室定义：设，如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得则称之为A的QR分解或酉-三角分解。当时，称为A的正交三角分解。4.2矩阵的QR分解定理4.8任意都可以作QR分解。定理4.9设，则A可唯一分解为其中Q是n阶酉矩阵，是具有正对角元的上三角矩阵。北京理工大

3、学高数教研室证明：先证明分解的存在性。将矩阵按列分块得到由于，所以是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组并且向量组之间有如下关系北京理工大学高数教研室其中，于是有北京理工大学高数教研室其中，北京理工大学高数教研室显然矩阵是一个正线上三角矩阵。下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式北京理工大学高数教研室那么有注意到是酉矩阵，而是一个对角线元素为正的上三角矩阵，可知因此有北京理工大学高数教研室例1：求下列矩阵的正交三角分解解：首先判断出，由定理可知必存在，及三阶正线上三角矩阵使得.北京

4、理工大学高数教研室4.3.矩阵的满秩分解定理1：设，如果存在使得，则称此为的满秩分解。证明：假设矩阵的前个列向量是线性无关的，对矩阵只实施初等行变换可以将其化成北京理工大学高数教研室即存在使得于是有其中北京理工大学高数教研室如果的前列线性相关，那么只需对作初等列变换使得前个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在且满足北京理工大学高数教研室从而北京理工大学高数教研室其中例分别求下面三个矩阵的满秩分解北京理工大学高数教研室解（1）对此矩阵只实施初等行变换可以得到北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室由此可知，选取北京理工大学高数教研室（

5、2）对此矩阵只实施初等行变换可以得到即。选取北京理工大学高数教研室（3）对此矩阵只实施初等行变换可以得到北京理工大学高数教研室所以，选取北京理工大学高数教研室选取行最简形矩阵中1元所在的列所对应的中列向量构成列满秩矩阵，选取行最简形矩阵中的所有非零行构成行满秩矩阵。注意：满秩分解不唯一，即有但是不同的分解形式之间有如下联系：定理：如果均为矩阵的满秩分解，那么（1）存在矩阵满足北京理工大学高数教研室（2）北京理工大学高数教研室定义：设，的特征值为则称为矩阵的奇异值。4.4矩阵的奇异值分解定义：设，若存在m阶酉矩阵和n阶酉矩阵，使得则称与酉等价。例求下

6、列矩阵的奇异值北京理工大学高数教研室解（1）由于显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为（2）由于显然的特征值为2，4，所以的奇异值为。北京理工大学高数教研室定理酉等价矩阵具有相同的奇异值。定理设，是的个非0奇异值，那么存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得其中将上式改写为，称之为的奇异值分解。北京理工大学高数教研室因为是一个Hermite阵，所以存在阶酉矩阵且满足将酉矩阵按列进行分块，记证明：由于，所以的特征值为北京理工大学高数教研室其中于是有从而有北京理工大学高数教研室令，则有选取使得是酉矩阵，即有即的个列是两两正交的单位向量。另外，有北京理工大学高数教研

7、室由上述式子可得这里，要注意。如何求此分解表达式？北京理工大学高数教研室例：求下列矩阵的奇异值分解表达式北京理工大学高数教研室解:（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的非零奇异值为。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量北京理工大学高数教研室由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有令，其中北京理工大学高数教研室选取，使得为酉矩阵。北京理工大学高数教研室于是可得奇异值分解式为北京理工大学高数教研室（2）北京理工大学高数教研室练习：求下面矩阵的奇异值分解式北京理工大学高数教研室使得且这样的分解式是唯一的。同时有称

8、分解式为矩阵的极分解表达式。定理：设，那么必存在酉矩阵与正定的H-矩阵4.5矩阵的极分解北京理工大学高数教研室与半正定H-