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1、微分方程第六章—积分问题—微分方程问题推广微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第六章引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).制动时常微分方程偏微分方程含未知函数
2、的导数（或微分）的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.（初值条件或定解条件)的阶数相同.特解引例2引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解.初始条件例1.验证函数是微分方程的通解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=
3、–x及y=C内容小结微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:通解不一定是方程的全部解.解;阶;通解;特解一阶微分方程第二节第六章一、可分离变量的方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程两边积分,得①②则有称②为方程①的隐式通解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),转化解分离变量方程一、可分离变量方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为二、齐次微分方程形如的一阶微分方程叫做
4、齐次微分方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例3.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)此处例4.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.P1501,3(2),4,5P1621(2)(4)(6)(8),2(1)-(3)作业三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为一阶线性非齐次方程.称为一阶线性齐次方程;例如线性齐次的;非线性的.线性非齐
5、次的;1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为一阶线性微分方程的解法对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得非齐次方程-----公式例5.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令例5.解方程解:(公式法)令则通解为例6.求方程的通解.解:令则其通解为四、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得解法:(线性方程)伯努利方程的通解。例1.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:解例2内容小结形式：形式Ⅱ
6、：形式Ⅰ：可分离变量微分方程齐次方程分离变量;两边积分。作变量代换作变量代换形式：通解公式：4.Bernoulli方程形式3.一阶线性微分方程——可化为分离变量的微分方程思考与练习判别下列方程类型并求解:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程P1635(1)(2)(4),6,7作业(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是
7、组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.
