矩阵的相似对角化ppt课件.ppt

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1、5.1特征值与特征向量5.2矩阵的相似对角化5.3实对称矩阵的对角化5.4Jordan标准形第5章矩阵的相似化简5.2矩阵的相似对角化5.2.1相似对角化的条件和方法5.2.2可对角化矩阵的多项式内容小结5.1.1相似对角化的条件和方法设它们所对应的特征值为1,2,,n,如果矩阵A相似于对角矩阵,则称A可对角化.将矩阵A化为与对角矩阵相似的过程称为相似对角化.若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量p1,p2,,pn,则由前知,若n阶矩阵A可对角化,则A有n个线性无关的特征向量(即相似变换矩阵的n个列向

2、量).3因此A可对角化.亦即而可逆,于是将上述n个式子写成即4定理5.7n阶矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量(相似变换矩阵的n个列向量就是特征向量,对角矩阵的主对角元就是特征值).推论5.8若n阶矩阵A有n个相异特征值,则A可对角化.注1.相似变换矩阵是不唯一的.2.可对角化的n阶矩阵不一定有n个相异的特征值.例如例5.2中,三阶矩阵A只有两个不同的特征值,但有三个线性无关的特征向量,故A可对角化.5例5.6已知试确定x,y,并求相似变换矩阵.解A与B相似,则在上式中令0,得yx2;令

3、2,得y2,从而x0.因此A的特征值为1,2,2.即6当1时,故得(EA)x0的基础解系它就是1对应的特征向量.7当2时,得(2EA)x0的基础解系它就是2对应的特征向量.8当2时,得(2EA)x0的基础解系它就是2对应的特征向量.9所以相似变换矩阵10虽然有相同特征值的两个n阶矩阵不一定相似,但是有推论5.9若两个n阶矩阵A与B有相同的特征值1,2,,n,且1,2,,n互异,则AB.11定理5.10n阶矩阵A的任一特征值的几何

4、重数不大于代数重数.证设0是A的任一特征值,其几何重数为s,将它们可充为n的一个基是特征子空间的一个基,并且设则由有1213从而有APPB,即APBP1,于是即是的因式,因此0的代数重数大于等于s.14定理5.10n阶矩阵A的任一特征值的几何重数不大于代数重数.推论5.11n阶矩阵A可对角化当且仅当A的全部相异特征值的几何重数之和等于n,这等价于A的每个相异特征值的几何重数等于代数重数.15例5.7设n阶矩阵A满足A2A2E,证明A可对角化.证设为A的任一特征值,解得11,或22.

5、下面分三种情况讨论.则由A2A2E0知220,(1)1是A的特征值,2不是A的特征值.此时2EA0,故2EA可逆.由A2A2E有(EA)(2EA)0,因此EA0,即AE,故A可对角化.16(2)2是A的特征值,1不是A的特征值.因此同理可证A2E,即A可对角化.(3)1和2都是A的特征值.由于(EA)(2EA)0,而17于是因为1和2的几何重数分别为且由前知故A可对角化.所以A有n个线性无关的特征向量,185.2.2可对角化矩阵的多项式当n阶矩阵A可

6、对角化时,存在可逆矩阵P,使得从而A的幂19特别地,对于A的特征多项式(),有进一步,对于任何多项式f(x),有20这表明,相似对角化能够简化矩阵多项式的计算.上述结论可以推广为(见第5.4节):任何一个方阵A的特征多项式()都使得(A)0.这就是著名的Cayley-Hamilton定理.21例5.8某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将六分之一熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有五分之二成为熟练工,设第n年一月份统

7、计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn.设,求22解由已知条件得化简得23则记从而24容易求得A的特征值为它们对应的特征向量为令P[p1p2],则25因此于是26当时,这是一种稳定的极限状态.271.n阶矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量.2.若n阶矩阵A有n个相异特征值,则A可对角化.3.矩阵A的任一特征值的几何重数不大于代数重数.4.矩阵A可对角化当且仅当A的每个特征值的代数重数与几何重数相等.内容小结28