薛定谔方程ppt课件.ppt

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1、第27章薛定谔方程目录§27.1薛定谔方程和力学量算符§27.2无限深方势阱中的粒子§27.4一维谐振子§27.3量子隧穿效应§27.1薛定谔方程和力学量算符1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！----这个方程，就是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在

2、经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。宏观物体运动状态的描述：运动规律的描述：微观物体(具有波粒二象性粒子)：运动状态的描述：运动规律的描述：波函数薛定谔方程波函数的引入由经典物理知：频率为、波长为、沿X方向传播的平面余弦波可表示为:上式是复数的实部,其复数为：将德布罗意关系式得与自由实物粒子对应的平面物质波复数表式：代入，区别于经典波动：一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。1）自由粒子的波函数-

3、------—维自由粒子的波函数r当粒子沿着方向传播时：ZXY其中：注意：波函数一般要用复数表示！P----------三维自由粒子的波函数这便是描述能量为E动量为P的自由粒子的德布罗意波。二、薛定谔（Schröding）方程设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动。适用条件v<

4、粒子的薛定谔方程若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：将（5）式看成一般情况下的特例：由（4）式：势场中的一维含时薛定谔方程势场中的一维含时薛定谔方程若为三维粒子，薛定谔方程为：···（12）引入拉普拉斯算符三维含时薛定谔方程：引入哈密顿算符：可得一般形式的含时薛定谔方程：--------此式是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律。哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的势函数U(x,t)来概括。而在

5、经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。练习二十五(3,4)哈密顿（Hamilton）量若U不显含时间，则H称为能量算符。势函数U不显含时间的情况很重要。这时，薛定谔方程可分离变量求解。只讨论势函数U与时间无关的情况--------定态薛定谔方程.3）定态薛定谔方程（重点）定态:势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化。（14）式代入方程等式左边是t的函数，右边是坐标的函数，但两边又相等，故等式左右两边均应与x、y、z、t无关，现记为E。则：其解：指数应是无量纲的数，的单位是“焦尔秒”，

6、故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。E式中E具有能量量纲，C可以是复数。E整理定态薛定谔方程或称能量本征方程数学上：E不论取何值，方程都有解。物理上：E只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。满足方程的特定的E值，称为能量本征值。定态：能量取确定值的状态，薛定谔方程的特解。ψE称为与E对应的本征波函数。若定态薛定谔方程已解出为：则粒子的波函数：注意：1）定态波函数为一空间坐标函数与一时间函数的乘积。2）对于定态，除能量E有确定值外，其几率分布也不随时间变化。改写成一类是

7、本征值问题，给定势能函数U(x)，求粒子的能量E和相应的本征波函数ψn(x)；求解两类问题：另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。薛定谔方程应用举例一维势阱对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限大能量.0aU此称无限深势阱若是经典粒子，粒子如何运动？mE许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。E可取任意值，且各处出现的几率一样+++mE量子力学对粒子的分析：粒子满足一维定态薛定谔方程：

8、粒子无法越过势阱故只须考虑0