第-11-讲-指数函数和对数函数(第3课时-函数).doc

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1、第11讲指数函数和对数函数-函数（第3课时）考点热点一定掌握！1．指数函数的图像及性质⑴定义：（且）⑵图像：如右图。⑶性质①图像在轴上方，即总是正的。②图像均过（0，1）点，即时，。③时，越大，曲线越陡；时反之。④时是增函数；时是减函数。例（2002年上海高考理科题）．已知函数f(x)＝。⑴证明：函数在(－1，＋∞)上为增函数；⑵用反证法证明方程没有负数根。证明：⑴设，则∵，又，∴，而，∴，，∴，∴在(－1，＋∞)上为增函数。⑵设为方程的负根，则有，即，显然，当时，，，，而，这是不可能的，即不存在的解，

2、当时，，，，这与矛盾，即不存在的解，综上所述，方程没有负数根。2．对数函数的图像及性质⑴定义：（，，）⑵图像：如由图。⑶性质①图像在轴右方，即总是正的。②图像均过（1，0）点，即时，。③时，越大，曲线越平缓；时反之。④时是增函数；时是减函数。例（2003年上海高考文科题）．已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性解：x须满足所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有，所以是奇函数.研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且

3、设x10，即在（0，1）内单调递减，由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减。注意：⑴结合图像记忆性质可以减轻记忆负担。⑵利用函数的图像比较两个量的大小例．比较与的大小。解：作出的图像，这是增函数，而，∴>。⑶指数函数与对数函数互为反函数3．分类讨论如果指数（对数）函数的底数没有确定，则要注意对底数进行分类讨论。例．已知，且，有，判断函数的单调性。解：设，则（），得∴（），任取、，使，那么，①当时，是增函数，由，得，，∴，又，∴，∴在内是增函数；②当时，是减函数，同理可证在内是增函数；综

4、上所述，在内是增函数。能力测试认真完成！1．对于给定的函数，有下列四个结论：①的图像关于原点对称；②无最大值；③；④有最小值0。其中正确的结论的序号是。2．在中，当为何整数时，此函数是增函数？减函数？并写出它们的表达式。3﹡．函数在什么区间内是递增的？递减的？其值为正的？4．已知函数的图像过点（1，3），又其反函数的图像过点（2，0），求。5．在取什么值时，有(且)。参考答案仔细核对！DS2208,13指数对数函数的图像与性质12345指数函数及图像√指数函数的性质√对数函数及图像√对数函数的性质√√指

5、数函数与对数函数互为反函数√分类讨论√1．对于给定的函数，有下列四个结论：①的图像关于原点对称；②无最大值；③；④有最小值0。其中正确的结论的序号是。解：由可知①正确；由在上是增函数可知②正确；令，可知③不正确；由为偶函数可只讨论，此时，在内递增，可知④正确；综上所述，①②④正确。2．在中，当为何整数时，此函数是增函数？减函数？并写出它们的表达式。解：根据对数性质有，解之得或⑴。若是增函数则有，即或⑵。由⑴、⑵得。又∵为整数，∴。当时，此函数是增函数，表达式为。若是减函数则有，即且⑶。由⑴、⑶得。又∵为

6、整数，∴。当时，此函数是减函数，表达式为。3﹡．函数在什么区间内是递增的？递减的？其值为正的？解：设，则其图像开口向下，其顶点横坐标为，当时，是增函数，当时，是减函数。其最大值为。结合的定义域得。∴在区间上，递增；在区间上，递减。∵当底数大于零小于1时，对数函数是减函数，∴当时，递增；当时，递减。要使，则要，解之得点评：当从（不能等于）变到时，从零（不能等于零）变到，此时递减；当从变到3（不能等于3）时，从减小到零（不能等于零），此时随的减小而增大。4．已知函数的图像过点（1，3），又其反函数的图像过点

7、（2，0），求。解：令，则，即，解得，，∴。5．在取什么值时，有(且)。解：⑴当时，要，即要或；⑵当时，要，即要。解题错误：未分两种情况进行讨论。