第 11 讲 指数函数和对数函数(第2课时-对数)

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1、第11讲指数函数和对数函数-对数（第2课时）考点热点一定掌握！1．对数式⑴定义：若，（且）则称是以为底，的对数。记为，其中称为真数，称为底数。⑵性质0和负数没有对数，1的对数等于零：，底的对数等于1：，参看下图，对于，若，当时，，当时，；若，当时，，当时，。底数大于1底数小于1⑶运算法则一个幂中指数是对数，对数的底数等于幂的底数：积的对数：商的对数：幂的对数：根式的对数：注意：①当时，。②当时，。③与不是一回事，前者表示。④中，和都必须是正数，但可以是正数、零或负数。2．对数的运算⑴将真数分解质因数。例．计算。解：。⑵换底例．若

2、，求。解：∵，∴，即，∴。⑶利用底的对数等于1例．计算。解：原式⑷利用对数定义将对数式与指数式互化。例．设，，，求的值。解：由对数定义，把已知的对数式化为指数式得：，，，∵、、均为正数，将其各自开方得：，，，将上面三式两边分别相乘得：，即，∴。⑸取对数法例．若,求证：。证明：设,则，，，即，，，∴。说明：较复杂数字的乘、除、乘方、开方运算可以先求其对数，这样较容易。3．换底公式换底公式：换底公式的推论：，，，例．已知，，求。解：。点评:本题使用了换底公式的推论（是其特例）以及。例．化简。解：原式点评：本题使用了换底公式的推论。例

3、．已知，求。解：，即，解之得。点评：运用换底公式时要灵活运用“换”与“分”的技巧。能力测试认真完成！1．若，求证：。2﹡．求证：，，不能同时成立。3．已知，求证：，。4．已知，，将用、来表示。5．已知，，求。6．已知，且，，，求。7﹡．已知，，求。参考答案仔细核对！DS2206-07对数12345678定义√√√√性质√√指数式与对数式互化√√运算法则积的对数√商的对数√幂的对数√根式的对数√换底公式√√√1．若，求证：。证明：∵，∴，即，两边取常用对数得，即。2﹡．求证：，，不能同时成立。证明：∵，∴，即，∵、、必为正数，且底

4、数不能等于1，∴、、中至少有一个小于1，有一个大于1，∵是一个对称式，故不妨设，，则由可知，这与必为正数相矛盾，∴结论成立。3．已知，求证：，。分析：已知条件是一个指数式，而结论是一个对数式，所以我们可以把条件化成对数式或是把结论化成指数式。证明：由得：，则，。点评：指数式化对数式。4．已知，，将用、来表示。解：把条件化成指数式得：，，而，，∴。点评：对数式化指数式。5．已知，，求。解：。点评：本题使用了换底公式。6．已知，且，，，求。解：∵，∴，同理可得，，解之得，即。点评：本题使用了换底公式。7﹡．已知，，求。解法一（先“换

5、”后“分”）：解法二（先“分”后“换”）：