高等数学-平面及其方程.ppt

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1、§7．7平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角法线向量、平面的点法式方程特殊的平面、平面的一般方程、截距式方程两平面的夹角、两平面夹角的余弦两平面平行与垂直的条件点到平面的距离公式一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．或者叫法矢xyzOn唯一确定平面的条件：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量．xyzOM0过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个．一、平面的点法式方程法线向量：唯一确定平面的条件：法线向量：如果一非零

2、向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量．xyzOM0过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个．一、平面的点法式方程唯一确定平面的条件：一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量．xyzOM0过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个．唯一确定平面的条件：一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量．xyzOM0过一定点M0(x0，y0，z0)并有确定法向量{A，B，C}的平面只有一个．过一定点M0(x0，y0，z0)

3、的平面有无穷个．n唯一确定平面的条件：一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就电做该平面的法线向量．xyzOM0过一定点M0(x0，y0，z0)并有确定法向量{A，B，C}的平面只有一个．过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个．n平面方程的建立：设M(x，y，z)是平面上的任一点．必与平面的法线向量n垂直，设M0(x0，y0，z0)为平面上一点，n{A，B，C}一个法线向量．为平面的即它们的数量积等于零：由于n{A，B，C}，所以A(xx0)B(yy0)C(zz0

4、)0．这就是平面的方程．此方程叫做平面的点法式方程．xyzOM0Mn即x2y3z80．例1求过点(2，3，0)且以n{1，2，3}为法线向量的平面的方程．解根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为(x2)2(y3)3z0，解先求出这平面的法线向量n．例2求过三点M1(2，1，4)、M2(1，3，2)和M3(0，2，3)的平面的方程．xyzOM1M2M3可取n根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150．14i9j

5、k，解先求出这平面的法线向量n．例2求过三点M1(2，1，4)、M2(1，3，2)和M3(0，2，3)的平面的方程．可取方法二：设平面方程为A（x-2）+B（y+1）+C（Z-4）=0点M2、M3满足方程，代入方程：解之得：因此有：二、平面的一般方程所以任一三元一次方程AxByCzD0的图形总是一个平面．任一平面都可以用它上面的一点(x0，y0，z0)及它的法线向量方程的一组数x0，y0，z0，即Ax0By0Cz0D0．反过来，设有三元一次方程AxByCzD0．任取满足该由于方程AxBy

6、CzD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解，n{A，B，C}来确定，平面的点法式方程是三元一次方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0．则有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，这是平面的点法式方程．方程AxByCzD0称为平面的一般方程．平面的法线向量为n{A，B，C}．考察下列特殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线．例如，方程3x4yz90表示一个平面，n{3，4，1}是这平面的

7、一个法线向量．讨论：D=0：AxByCz0．A=0：ByCzD0．B=0：AxCzD0．C=0：AxByD0．A=B=0：CzD0．B=C=0：AxD0．A=C=0：ByD0．将其代入所设方程并除以B(B0)，便得所求的平面方程为y3z0．例3求通过x轴和点(4，3，1)的平面的方程．解由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是法线向量在x轴上的投影为零，即A0．又由于平面通过x轴，它必通过原点，于是D0．因此可设这平面的方程为ByCz0．又因为这平面通过点(

8、4，3，1)，所以有3BC0，或C3B．例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，求这平面的方程(其中a0，b0，c0)．xyzOP(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)n解设所求平面的方程为AxByCzD0．因P(a,0,0)