高等数学下8.5平面及其方程

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1、§5.平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，znz这向量就叫做该平面的法线向量．n如果一非零向量垂直M0已知n{A,B,C},M(x,y,z),M0M0000于一平面，这向量就叫做M该平面的法线向量oy设平面上的任一点为M(x,y,z)yoxx必有MMnMMn0设平面的法向量为n{,,},ABC00平面内一点M0(,,)x000yz,MM{,,}xxyyzz0000设平面上的任一点为M(x,y,z)Axx()0Byy()0Czz()00法线向量的特征：垂直于平面内的任

2、一向量．过已知点(,,)x000yz的平面点法式方程必有M0MnMMn00其中法向量n{,,},ABC一、平面的点法式方程zn一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，M0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0M这向量就叫做该平面的法线向量．ijkoyab如果一非零向量垂直于一平面，aaaMM{,,}xxyyzzxxyz0000这向量叫做该平面的法线向量bbbxyzA(xx)B(yy)C(zz)0000例1求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和平面的点法式方程C(0,

3、2,3)的平面方程.其中法向量n{A,B,C},已知点(x0,y0,z0).解AB{3,4,6}平面上的点都满足上方程，不在平面上的AC{2,3,1}点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．取nABAC{14,9,1},一、平面的点法式方程二、平面的一般方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0由平面的点法式方程例1求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和A(xx0)B(yy0)C(zz0)0C(0,2,3)的平面方程.AxByCz()Ax000By

4、Cz0D解AB{3,4,6}即任一平面表示AxByCzD0AC{2,3,1}？（A,B,C不同时为零）取nABAC{14,9,1},xD不妨设A0则ABy0Cz00为一平面.A所求平面方程为14(x2)9(y1)(z4)0,AxByCzD0平面的一般方程化简得14x9yz150.法向量n{,,}.ABC1番茄花园1二、平面的一般方程二、平面的一般方程AxByCzD0平面的一般方程由平面的点法式方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0平面

5、一般式方程的几种特殊情况：AxByCzD0其中法向量n{A,B,C},(1)D0,平面通过坐标原点；例2求过点(1,1,1)，且垂直于平面xyz7和D0,平面通过x轴；3x2y12z50的平面方程.(2)A0,D0,平面平行于x轴；解n1{1,1,1},n2{3,2,12}类似地可讨论B0,C0情形.取法向量nnn12{10,15,5},(3)AB0,平面平行于xoy坐标面；所求平面方程为类似地可讨论AC0,BC010(x1)15(y1)5(z1)0,(4)ABD

6、0,有z0,即面xoy.化简得2x3yz60.二、平面的一般方程二、平面的一般方程AxByCzD0平面的一般方程例4设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、例3设平面过原点及点(6,3,2)，且与平面Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a0，b0，c0），4xy2z8垂直，求此平面方程.求此平面方程.解设平面为AxByCzD0,解设平面为AxByCzD0,由平面过原点知D0,aAD0,由平面过点(6,3,2)知6A3B2C0将三点坐标代入得bBD0,n{4,1,2}

7、,4AB2C0cCD0,2ABC,DDD3A,B,C.所求平面方程为2x2y3z0.abc例4设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、二、平面的一般方程axayazQ(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a0，b0，c0），两向量平行的充要条件：a//bbxbyb求此平面方程.AxByCzD0,zzc例5求平行于平面6xy6z50而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.DDD将Aa,Bb,Cc,aobyxyzz解设平面为1,xabc代入所

8、设方程得11V1,abc1,xyz32oy1平面的