平面及其方程.ppt

《平面及其方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第七节平面及其方程一、平面的点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOnM0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的

2、点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9jk例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+3)(z4)=0即:14x+9yz15=0二、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平

3、面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为它表示过定点,且法向量为n={A,B,C}的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=02.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程考

4、虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是By+D=0;平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz

5、=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By3Bz=0即:y3z=0例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR所求平面的方程为:即:(3)三、两平面的夹角1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1

6、=0法向量n1={A1,B1,C1}2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2={A2,B2,C2}所以2.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.例6:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量n={A,B,C}已知平面x+y+z=0的法向量n1={1,1,1}所以:nM1M2且nn1而M1M2={1,0,2}于是:A(1)+B0+C(2)=0A1+B1+C1=0解得:B=C

7、A=2C取C=1,得平面的一个法向量n={2,1,1}所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0例:设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离d.解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则P1P0={x0x1,y0y1,z0z1}过P0点作一法向量n={A,B,C}于是:又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D)=Ax0+By0