2019A无穷级数ppt课件.ppt

《2019A无穷级数ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十一章无穷级数无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。(常)数项级数级数幂级数函数项级数正项级数交错级数傅里叶级数本章重点无穷级数的概念与性质正项级数的审敛法级数的绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域与和函数函数展开成幂级数傅里叶级数（正弦级数与余弦级数）§1.常数项级数的概念和性质一、概念定义：称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。设给定一个数列{un}:问题：(即有没有和)其中un称为级数的一般项（或通项），(P.186)2.部分和数列一数列中有限项相加总是有和的，无限项相加是否有和？可能有，可能没有。答

2、：如何研究它？通过有限项去认识和研究无限项。定义：级数前n项之和:称为级数的部分和数列。部分和数列{Sn}：显然,与原数列{un}建立了一一对应的关系:发散的级数没有和。极限S称为级数的和，3.级数的收敛和发散定义：收敛(Converge)(C)发散(Divergence)(D)(C)(D)含有极限的意义，不同于一般等号。说明了数可用一个收敛级数来表示。(3)其差值rn=称为级数的余项。例题讨论讨论等比级数（几何级数）的敛散性：例1.部分和数列解：∴(D)例2.例3.解：∴原级数(C)例4.解:作出此级数，并求其和。=2，(n→∞)证明:(n→∞)二.基本性质性质

3、1.性质2.收敛级数可逐项相加减。设两个收敛级数推论：由性质2：矛盾！推论：(C)+(D)=(D)反证：(C)+(C)=(C)发散级数不能逐项相加减。在级数前加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性，但收敛时其和要改变。∴(C),例：性质3.(C)(C)收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和。证：部分和为Sn，性质4.按某一规律加括号后的级数：收敛于0，去括号后∴(D)收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。1.例：发散级数加括号后所成级数不一定发散。2.例：(D)(C)两个发散级数逐项相加减却不一定发散。例：加括号后所成的级数发散，3.即4.则原级数也发散。（反

4、证即得）(C)+(C)=(C)(C)+(D)=(D)(D)+(D)=(D)？不确定性质5.证：（级数收敛的必要条件）反之不成立！说明：例1.∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：（反证）也应有但：矛盾！可见,课外作业习题6—11（3，4），2（2，3），3（1，2，4）4（1,3,5,7,8）§2.常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义：许多级数的敛散性归结为正项级数的敛散性。2.正项级数收敛的充要条件证：收敛数列必有界，定理：(单调有界数列必有极限)(C)如：有界无界有界无界注意：其它情形都不能判定。3.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(

5、C),(C).(1)(2)(D),(D).[大的(C)小的也(C)][小的(D)大的也(D)]证明：(1)即{Sn}有界(2)反证法.推论1.若，且从第n项起，则也（C）.若，且从第n项起，则也（D）.即级数若从某项后满足比较审敛法，仍得同样结果。(重要级数)证：即有界∵要与已知敛散的级数一般项进行比较，等比级数(C)︱︱＜1(D)︱︱≥1P-级数(C)(D)必须掌握一些已知敛散的级数。常用：调和级数(D)推论2.p>1,(C)(D)p≤1,(D)判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.(2)解：(3)解：从前例中已看到，可先从无穷小等价的观点来估计级数的敛散性

6、，然后找一个已知敛散的适当级数与之比较。为此把比较法表示成极限形式，使应用更方便。须选择适当级数使比较法有效，比较审敛法的极限形式:设正项级数，判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例2：解：∴原级数发散。=1，解：例3：解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。解：∴原级数收敛。课外作业习题6—2（A）1（2，3，4）1（4）注：比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数，若则当敛散性不定(比值审敛法失效，只能用比较审敛法)证明：设，此时必有数存在于1与之间，∴选适当小的，使由极限定义，对上述当时，有由比较法，∵∴(2)设，则选适当小的，使，由极限定义，当时

7、，有：∴原级数发散∴同理，当∴发散(3)设，级数处于敛散性的交界处，不能确定。例p级数：但，∴时不能确定。例1.解：∴原级数收敛。判别下列级数的敛散性：<1,注意：若不存在，比值法也失效。解：∴原级数收敛。=(3)解：(4)说明：解：(5)解：用比较法：比值法失效；根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定证略例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：3.解：4.解：=2>1课外作业习题6—2（A）2（2，3，4）3（2，3）（比值）（根值）5（1，3，5，8，10）