无穷级数内容回顾ppt课件.ppt

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1、无穷级数内容回顾一基本要求1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基本性质,熟悉级数收敛的必要条件.2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌握正项级数收敛的比值、根值判别法.3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理解绝对收敛和条件收敛的概念.4.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域的求法.了解幂级数的主要性质.5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.(一)常数项级数二要点提示常用来判定级数是发散的.切不可用来判定由此可得:若则级数必发散.若收敛,则级数是收敛的,例如调和级数就是发散的.1.级数收敛的必要条件:2.正项级数的审敛法p-级数调和级数等比级数使用比较判

2、别法时,必须熟记一些敛散性已知的正项级数作为“参照”级数,如判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:(4)级数收敛的定义:(3)用比较判别法（或极限形式）.(2)用比值或根值判别法,若失效.(1)则发散.同时考虑到级数的基本性质.部分和数列极限是否存在.3.任意项级数莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件.当不满足条件时,不能判定级数必发散.2.若用正项级数的比值或根值判别法判定发散,绝对收敛的级数必收敛.注意对于任意项级数若收敛,则称绝对收敛.1.可先考查任意项级数是否绝对收敛；若发散而收敛,则称条件收敛.则级数也发散.1.收敛半径和收敛区间(

3、二)幂级数收敛域：或或或收敛区间为对于缺项的幂级数可按下式从而得收敛区间为求出的范围2.幂级数的重要性质(1)在收敛区间内和函数连续.(2)可逐项求导.(3)可逐项积分.逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,但在收敛域可能改变.3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上,对照已知级数的特点,可通过恒等变形,变量代换及逐项求导或积分的方法来求和函数.4.函数展开成幂级数这通常是较困难的.(1)直接展开法:展开,但必须证明余项的极限(2)间接展开法：利用已知函数的展开式,通过恒等变形,变量代换,级数的代数运算及逐项求导

4、或积分,把函数展开成幂级数.注意两点:1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式.2.根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间.逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变,但收敛域可能会变.几个常用初等函数的马克劳林展开1.试判断下列命题是否正确?三思考与分析则同敛散.(2)设是正项级数,c为大于零的常数,(1)若则必定收敛.答：均不正确.(2)反例,考虑(1)则发散.正项级数比较判别法的极限形式则同敛散.设为正项级数,若有证明:也收敛.若均收敛,且对一切自然数2.下列运算是否正确?证明:均收敛,由比较判别法知收敛.答：不正确.因为证明中使用了比较判别法,而比较判别法

5、只适用于正项级数,题目中并未指出级数是正项级数.正确方法如下:由正项级数的比较判别法3.若级数和都收敛,则根据正项级数的比较判别法可知由题意知,和收敛,绝对收敛.故也收敛,4.当下列条件()成立时,当(c)成立时,由莱布尼兹定理可得.收敛.当(d)成立时,绝对收敛,因此必定收敛.判定下列级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?练习题解级数为由于一般项所以发散.所以级数收敛.由正项级数的比值判别法解原级数为由比值法所以原级数绝对收敛.是收敛的等比级数,解原级数可看作由级数的基本性质,原级数发散.由莱布尼兹定理知，从而条件收敛.交错级数收敛,(二)幂级数解由于求的

6、收敛区间.收敛区间为故收敛半径为1.下列运算是否正确?上述运算是错误的.原级数是仅含奇次幂的级数,即为缺项情形,应该用比值判别法来求收敛半径.故原级数的收敛区间为当即时,原级数收敛.正确方法为:解则原级数变为(1)令2.求的收敛域.故原级数的收敛区间为或即原级数化为解所给级数不是幂级数,原级数的收敛域为因此,收敛域为不难知收敛区间为引入变换3.求的和函数及的和.解收敛区间为法1.拆成两个级数之和,再分别求和.法2.记则级数在收敛区间内可逐项积分:由求令则解4.求幂级数的和函数.的收敛域为的收敛域为的收敛域为设故5.求幂级数展开式(1)将展开成x的幂级数(2)将展开成

7、x-1的幂级数.(3)将展开成x的幂级数.解(1)故收敛区间为其中故收敛区间为由逐项积分的性质可得,四.自测题1.选择题(1)若收敛,则则该级数().(a)条件收敛(b)绝对收敛(c)发散(d)可能收敛可能发散(a)1；(b)0；(c)不存在；(d)不能确定(2)对任意级数若且(3)若正项级数及都收敛,则()收敛.部分和数列有界(4)当下列条件()成立时,收敛.(5)若在处收敛,则在处().二.判定下列级数的敛散性(a)发散(b)条件收敛(c)绝对收敛(d)不能确定三.判定下列级数的敛散性,若收敛是绝对收敛,还是条件收敛?四.求下列幂级数的收敛区间七.证明:若和