2019年 A无穷级数ppt课件.ppt

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1、§7.—§8.傅里叶级数傅里叶(Fourier)又译作傅立叶，富里埃，（法国数学家）幂级数虽然简单，但不能反映某些函数的周期性质。而实际问题中的周期性的物理现象希望能用反映周期性质的简单函数来表示，三角函数就是最简单的周期函数。如描述简谐运动的函数其中y表示动点的位置，t表示时间，如果一个周期函数f(t)能表示成简单的三角函数组成的级数，即也即把一个比较复杂的周期运动看成是多个(或无数多个)不同频率的简谐振动的叠加。ty0243sint1–10.5–0.51.5–1.5例ty0243

2、1–1.0.5–0.51.5–1.5.例ty02431–1.0.5–0.51.5–1.5.例ty02431–1.0.5–0.51.5–1.5.例ty02431–1.0.5–0.51.5–1.5y的图形已经与正弦型函数大不相同，更何况无穷项的三角级数!.例定义：的级数称为三角级数。由函数的周期性，级数在一个周期上收敛，则在整个区间(-∞,∞)都收敛。一、三角函数系的正交性设三角函数系：任两个不同函数的乘积的积分都为0；任两个相同函数的乘积的积分都不为0。即有：=0,即：二、

3、傅里叶级数(F—级数)且能展开成三角级数，即有则系数a0,a1,b1,…,an,bn,…=?假设(*)式可逐项积分。(*)10.求a0:(*)=0，20.求an:=0=0=0(*)30.求bn:=0=0由此得出的三角级数称为f(x)的傅立叶级数，其中系数称为f(x)的傅立叶系数。展开的F—级数为展开的F—级数为：其中F—系数显然，狄利克雷（Dirichlet）充分条件三、收敛定理(P.241)设f(x)是周期为2l的周期函数，如果它满足：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，(2)在一个

4、周期内至多只有有限个极值点，(f(x)连续或分段连续)(f(x)分段单调)则f(x)的F—级数收敛，且当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，级数收敛于x处左右极限的平均值。即周期为2l的周期函数f(x)，若在一个周期内连续或分段连续，且分段单调，则其F—级数当x是f(x)的连续点时f(x)当x是f(x)的间断点时说明：已知一个周期上级数的收敛情况，(1)则其余周期上可得类似结果。(2)凡是可展开成幂级数的函数都可展开为收敛的F—级数。（能展开成幂级数的函数必有任意

5、阶的导数存在）例题讨论例1：它在一个周期内的表达式为设f(x)是周期为2π的周期函数，将f(x)展开成F—级数，并作其和函数图。解：0xf(x)..。.。。。。f(x)满足收敛定理条件。=0；+0]所求傅立叶级数为：收敛情况如何？即能否=f(x)?。。0xs(x)。。。.。。。。...0xf(x)..。.。。。。。。0xs(x)。。。.。。。。...例2：设f(x)是周期为4的周期函数，它在[-2,2]上的表达式为将f(x)展开成F—级数，并求其和函数。解：0xf(x)。..。f(x)满足收敛定理

6、条件，。。且l=2.奇函数=0，=0，同理，所求傅立叶级数为：0。。0xs(x)..。。。。。。...课外作业习题6—71（1，3）习题6—91（3）改为：它在一个周期上的表达式为f(x):（写出和函数）四、奇函数与偶函数的F—级数由前例，当周期为2l的奇函数f(x)展开F—级数，称为正弦级数。当周期为2l的偶函数f(x)展开F—级数，称为余弦级数。五、在[-l,l]上定义的非周期函数展开成F—级数非周期函数也可展开成F—级数，方法：——周期延拓在f(x)的D:[-l,l]外补充定义，把f(x)拓

7、广成周期函数F(x)，且在[-l,l]上F(x)满足收敛定理，可展开成F—级数，最后限制x在f(x)的定义域内，即得f(x)的F—级数。例题讨论例1：解：作周期延拓，0xf(x)..F(x)F(x)满足收敛定理，f(x)为偶函数0xf(x)..F(x)所求傅立叶级数为：(端点亦为连续点)例2：并讨论其在[-1,1]上的收敛情况。解：作周期延拓，=11（=0）所求傅立叶级数为：0xs(x)。。。。。。。。...课外作业习题6—72（1，3）3（证明1，3，4,）（课堂上已求得展开式）习题6—91（2

8、）六、在[0,l]上定义的函数展开成正弦级数与余弦级数方法：使f(x)成为奇函数，使f(x)成为偶函数，即可展成正弦级数；——奇延拓——偶延拓即可展成余弦级数。再作周期延拓，再作周期延拓，[-l,0)[-l,0)例题讨论例1：分别展开成正弦级数与余弦级数。解：(1)展成正弦级数作奇延拓，再作周期延拓，所求正弦级数为：0xs(x)..。。。。。。。。。...(2)展成余弦级数:作偶延拓，再作周期延拓，=1。。。。所求余弦级数为：0xs(x).。.。..。。..例2：展开成余弦级数，解