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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计参数的区间估计区间估计引例已知X~N(,1),x1,x2,…,xn是一组样本值不同的样本值算得的的估计值不同，因此除了给出未知参数的点估计外，还希望根据所给的样本确定一个随机区间，使其包含参数真值的概率达到指定的要求.的无偏、有效点估计为随机变量常数如引例中，若要找一个区间,使其包含的真值的概率为0.95.(设n=5)取查表得这说明即称随机区间为未知参数的置信度为0.95的置信区间.反复抽取容量为5的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占95%
2、.置信区间的意义的置信区间的置信上限置信度的置信下限若测得一组样本值,它可能包含的真值，也可能不包含的真值当置信区间为时则得一区间(1.86–0.877,1.86+0.877)反复抽样得到的区间中有95%包含的真值.算得区间的长度为———达到最短取=0.05设是一个待估计的参数,是一给定的数,(0<<1).若能找到两个统计量使得则称随机区间为参数的置信度为1-的置信区间,为置信下限与置信上限,分别称1-称为置信水平或置信度.置信区间的定义反映了估计的可靠程度,越小,越可靠.置信区间的长度反映了估计的精度越小,1-越大,估计的可靠程度
3、越高,但这时,往往增大,因而估计的精度降低.越小,估计的精度越高.确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最小的一个.几点说明通常,增大样本容量可以提高精度.在求参数的置信区间时,一般先保证可靠性.在保证可靠性的基础上,再提高精度.寻找一个样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).例如求置信区间的步骤—称为枢轴量给定置信度1,定出两个常数a,b,使得(引例中由解出得置信区间引例中,(一)一个正态总体X~N(2)的情形置信区间常用公式(1)方差2已知,的置信区间推导由选取枢轴量由确定解得
4、的置信度为的置信区间为(2)方差2未知,的置信区间由确定故的置信区间为推导选取枢轴量当方差未知，且n>30，的置信度为1-的置信区间为问题：若X的分布类型未知，如何估计=E(X)？取n>30，此时.当方差已知，的置信度为1-的置信区间为当方差未知，的置信度为1-的置信区间为思考题(2003年数学一考研试题填空题)已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是__________。(注：标准正态分布函数值(1.96)=0.975，(1.64
5、5)=0.95)(3)当已知时,方差2的置信区间取枢轴量，得2的置信度为置信区间为由概率(4)当未知时,方差2的置信区间选取得2的置信区间为••则由例1某工厂生产一批滚珠,其直径X服从正态分布N(2),现从某天的产品中随机抽取6件,测得直径为15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1(1)若2=0.06,求的置信度为95%的置信区间;(2)若2未知,求的置信度为95%的置信区间;(3)求方差2的置信度为95%的置信区间.解(1)即由给定数据算得由公式(1)得的置信区间为(2)取查表得由给定数据算得由公式(4)得的置信区
6、间为(3)选取枢轴量查表得由公式(2)得的置信区间为为取自总体N(112)的样本,为取自总体N(222)的样本,置信度为1分别表示两个样本的均值与方差(二)两个正态总体的情形相互独立,的置信区间为(1)已知,的置信区间(2)未知(但)的置信区间的置信区间为相互独立,(3)未知,但n,m>50,的置信区间的置信区间为因此令Zi=Xi-Yi,i=1,2,…,n,可以将它们看成来自正态总体Z~N(12,12+22)的样本仿单个正态总体公式(2)的置信区间为(4)未知,但n=m,的置信区间取枢轴量(5)方差比的置信区间(1,2未知)因此,方差
7、比的置信区间为取枢轴量(6)方差比的置信区间(1,2已知)因此,方差比的置信区间为例2某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本与已知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为1与2(1)若它们的方差相同,求均值差的置信度为0.95的置信区间;(2)若不知它们的方差是否相同,求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间解查表得由公式(6)的置信区间为(1)取枢轴量(2)枢轴量为查表得由公式(9)得方差比的置信区间为(三)单侧置信区间定义对于给定的(0<<1),是待估参数是
