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1、二、微分的基本公式及运算法则三、微分的应用第一节一、微分的概念函数的微分第三章一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为当x在取得增量时,变到边长由其关于△x的线性主部△x的高阶无穷小时为故称为函数在的微分再例如,定义3.1若函数在点的微分,(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即在点可微,的增量可表示为问题:是否所有函数的改变量都含有这种关于△x的线性函数(改变量的主要部分)?它是什么?如何求?定理3.1函数在点可微
2、的充要条件是且当f(x)在点时,其微分一定是处可微证“必要性”已知在点可微,则故在点可导,且,从而“充分性”已知在点则定理2.4函数在点可微的充要条件是且当f(x)在点微分一定是处可微时,其处可导,注1°时,2°当即当时与是等价无穷小,于是有3°由定理3.1知，4°“微商”.微分的几何意义当很小时,切线纵坐标的增量MNT例1求函数解时的增量和微分.由此可见当很小时,1.基本初等函数的微分公式二、微分的基本公式及运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)2.函数的和、差、积、商的微分法则分别可微
3、,的微分为一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则则复合函数结论：解(方法1)例2利用微分形式不变性(方法2)解由积的微分法则及微分形式不变性,有例3例4设求解利用一阶微分形式不变性,有由此解得利用一阶微分形式不变性求隐函数的微分是好方法例5解三、微分的应用当很小时,使用原则:得近似等式:1.微分在近似计算中的应用特别当很小时,常用近似公式:很小)证令得的近似值.解设取则例6求例7有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解已知球体体积为则镀铜体积为时体积V的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多
4、少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,2.微分在误差估计中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出点处的及并说明其正负.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:解(1)2.注上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.(3)3.4.6.
5、5.设且则解由积的微分法则,有备用题例2-1解例2-2例2-3已知求解因为所以例4-1由方程确定,解方程两边求微分,得当时由上式得求方程两边求微分,得已知求解例4-2例4-3解(方法1)解(方法2)(隐函数求导法)的近似值.解例6-1计算误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得x,例9设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解计算A的绝对误差限约为A的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm)
