《课件函数的微分》PPT课件

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1、引言在理论研究和实际应用中,常常会遇到这样的问题:当自变量有微小变化时,改变量这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了,然而,对于较复杂的函数差值却是一个更复杂的表达式,不易求出其值.一种设想是:设法将表示成的线性函数,求函数的微小即线性化,从而把复杂问题化为简单问题.微分就是实现这种线性化的一种数学模型.完一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为y,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为称为函数在的微分当x取得增量时,变到边长由

2、其记为即故定义1设函数称为函数在点处的微分，简称函数的微分，记作，即则当时，从而称为自变量的微分，于是从而即导数是因变量的微分与自变量的微分之商.所以导数又称为微商.因此函数的增量可以用它的微分近似的表示出来：即对于函数增量可以转化为的计算。例如,又如,解因为由题设条件知所以解求函数在处的微分;函数在处的微分为完例1例21求函数当由改变到的微分.例10解半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了0.05厘米,问面积增大了多少?设(厘米),(厘米).完定理1函数在处可微的充分必要条件是它在处可导.证明：必

3、要性:在处可微,即在处可导且充分性:即在处可导由无穷小的定义，有从而即在处可微.由定理2.4.1知:可导可微，基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式完微分四则运算法则导数的四则运算法则微分的四则运算法则微分四则运算法则微分四则运算法则以乘积的微分运算法则为例:完例3解求函数的微分.因为所以或利用微分形式不变性完例4解求函数的微分.因为所以完复合函数的微分法设函数及都可导,则复合函数的微分为由于故复合函数的微分公式为或由此可见,无论是自变量还是中间变量,函数的微分形式微分形式

4、不变性总是微分形式不变性表明:当变换自变量时为(即设复合函数的微分法微分形式不变形表明:当变换自变量时为(即设微分形式不变形复合函数的微分法微分形式不变形表明:当变换自变量时为(即设保持不变.另一变量的任一可微函数时),微分形式完微分形式不变形例5解设求设则注:与复合函数求导类似,可不写出中间变量,这样更加直接和方便.完求复合函数的微分也例6解完设求应用微分形式不变性有例7解已知求完例8解在等式的括号中填入适当使等式成立.一般地,有完的函数,三、微分的几何意义T几何意义:(如图)PMN当很小时,微分在

5、近似计算中的应用当

6、x

7、很小时(记作

8、x

9、<<1)，有ydy.即f(x0+x)-f(x0)f(x0)x，或f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0).特别地,令得到函数在点附近的近似公式:常用函数的近似计算公式由微分近似公式易得常用初等函数的近似公式很小时):(1)(2)为弧度);(3)为弧度);(4)(5)完例12解计算下列各数的近似值:(1)(2)(1)(2)完微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得