2019第4章根轨迹ppt课件.ppt

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1、第四章根轨迹法控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了系统的基本特性。为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一。§４－１根轨迹的基本概念一．举例说明根

2、轨迹的概念特征方程的根为，令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值，将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋势。§４－１根轨迹的基本概念从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ值都是稳定的。２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ当K=0时，S1=0，S2=-1３．暂态性能（１）　当０<Ｋ<０.25时，闭环特征根为实根，系统

3、是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。（２）　当Ｋ＝０.25时，两特征根重合，均为－0.5，系统处于临界阻尼状态。（３）　当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ由以上分析得知：根轨迹就是控制系统特征方程的根随系统参数变化在S平面上移动的轨迹。根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系。二．绘制系统根轨迹的依据图示系统的特征方程绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改写为§４－１根轨迹的基本概念——开环传函是复变

4、量Ｓ的函数，根据上式两边的幅值和相角分别相等的条件，可以得到这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制系统根轨迹的重要依据。现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件转换成实用的形式。§４－１根轨迹的基本概念…此时，幅值条件和相角条件可写成§４－１根轨迹的基本概念－开环零点．　　　　　　－开环极点．注意这个形式和求稳态误差的式子不同，需变换成这种形式．将开环传递函数写成下列标准的因子式…（＊）（＊＊）×p2×p1Os0§４－１根轨迹的基本概念三．根据相角条件确定根轨迹上的点设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ平面中的任意一点　，用相角条件可以判断　是不是根轨迹的点

5、。１．从　到各零极点连直线２．用量角器量　　　,…等各个角．３．将量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，则　就是根轨迹上的点．×p3Oz1§４－１根轨迹的基本概念不满足，故　不是根轨迹上的点。×p2×p1Os0×p3Oz1在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和实轴的坐标比例应取得一致。§４－２绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准

6、确、更迅速的绘制根轨迹。一．根轨迹的对称性实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。二．根轨迹的起点和终点根轨迹的起点对应于　　　时特征根在Ｓ平面上的分布位置，而根轨迹的终点则对应于　　　时，特征根在Ｓ平面上的分布位置。幅值条件改写当　　　，必有Ｓ＝　　，即起点是开环极点。当　　　，必有Ｓ＝　　，即终点是开环零点。但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于无穷远处。举例如题，　　　　　，起点：０，－１，无零点，n=２，m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞K=

7、0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ§４－２绘制根轨迹的基本规则三．根轨迹的分支数根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。四．实轴上的根轨迹在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。设系统开环零、极点分布如图所示。为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在和之间任选一个试验点。§４－２绘制根轨迹的基本规则１．共轭复数极点到　的幅角之和为０°，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。２．若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件。试验点左侧的开环零、极点提供的相角为０°,而右

8、侧的相角为180°。　点