资源描述：
《2019年 解析函数的级数表示 ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.复数列的极限设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,又设a=a+ib为一确定的复数.如果则称复数列{an}收敛于a.第四章级数§1复数项级数定理存在的充要条件是12.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列, 表达式称为无穷级数.sn=a1+a2+...+an称为级数的部分和.部分和数列{sn}收敛.收敛2收敛收敛34因为的各项都是非负的实数,所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.5[解]因6[解]由于a
2、n=ncosin=nchn,因此,当n时,an.所以{an}发散.[解]例2级数是否收敛？7例3下列级数是否收敛?是否绝对收敛?[解]因发散;收敛,故原级数发散.由正项级数的比值审敛法知[解]故原级数收敛,且为绝对收敛.收敛,8为条件收敛,所以原级数非绝对收敛.收敛;[解]也收敛,故原级数收敛.练习：讨论的收敛性。91.幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数.§2幂级数sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+f
3、n(z) 称为级数的部分和.10存在,则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,而s(z0)称为它的和.如果级数在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果对于D内的某一点z0,极限s(z)称为级数的和函数11当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时,得到幂级数:如果令z-a=z,则(4.2.2)成为,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论.12定理一(阿贝尔Abel定理)yz0
4、xO13[证]141516iii)存在a>0,
5、z
6、0,
7、z
8、>b时,级数发散.2.收敛圆和收敛半径幂级数的收敛情况不外乎三种:对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.显然a9、的圆域.对幂级数来说,收敛范围是以z=a为中心的圆域.在收敛圆上敛散不定.193.收敛半径的求法（1）比值法：如果则收敛半径.[说明]20则收敛半径（2）根值法：如果例1求下列幂级数的收敛半径21222324例2求幂级数[解]级数实际上是等比级数,部分和为的收敛范围与和函数.2526象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行 有理运算.设在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.4.幂级数的
10、运算和性质2728更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.2930Oxyab当
11、z-a
12、<
13、b-a
14、=R时级数收敛31323)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即331.解析函数的Taylor展开定理(Taylor)：其中§3泰勒级数34证明：（见图）z0zz3536逐项积分：37圆周的半径可以任意增大,只要含在D内.因此如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=
15、a-z0
16、.注:
17、1)泰勒展开式是唯一的;z0zz38Oxyz0a这是因为f(z)在收敛圆内解析,故奇点a不可能在收敛圆内.又因为奇点a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点a只能在收敛圆周上.39推论1：推论2：推论3：幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛).40例如：412.解析函数展开为Taylor级数的方法间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算与性质主要有：利用几何级数利用已知的级数；逐项求导、逐项积分；待定系数法直接法:直接计算4243例2解:44例3求对
18、数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.-1OR=1xy[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在
19、z
20、<1展开为z的幂级数.4546在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受
21、x
22、<1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.47而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函
