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1、第四章解析函数的级数表示§4.1复数项级数§4.2复变函数项级数§4.3泰勒级数§4.4洛朗级数10/8/20211§4.1复数项级数1.复数序列的极限10/8/2021210/8/202132.复数项级数10/8/2021410/8/20215定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.10/8/2021610/8/20217[解]1)因发散;收敛,故原级数发散.10/8/2021810/8/2021910/8/202110(1)发散;(2)绝对收敛;(3)收敛,条件收敛;(4)绝对收敛;(5)绝对收敛.10/8/202111§4.2复变函数项级数1.复变函数项级
2、数10/8/20211210/8/2021132.幂级数(阿贝尔定理)10/8/20211410/8/20211510/8/20211610/8/20211710/8/20211810/8/20211910/8/2021204.幂级数的运算和性质象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算.设10/8/202121这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.10/8/20212210/8/2021233)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即10/8/202124§4.3泰勒级数10/8/202125利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0展开成幂级数,
3、这被称作直接展开法例如,求ez在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)
4、z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.10/8/202126同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:10/8/202127[解]由于函数有一奇点z=-1,而在
5、z
6、<1内处处解析,所以可在
7、z
8、<1内展开成z
9、的幂级数.因为例1把函数展开成z的幂级数.10/8/202128例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在
10、z
11、<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy10/8/202129推论1:推论2：推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)10/8/202130推论4：例如：它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.1-z2+z
12、4-…如复变函数10/8/20213110/8/20213210/8/202133§4.4洛朗级数10/8/202134一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.R1R2zrK1zRK2zz010/8/202135解：函数f(z)在圆环域i)0<
13、z
14、<1;ii)1<
15、z
16、<2;iii)2<
17、z
18、<+内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO210/8/202136先把f(z)
19、用部分分式表示:ii)在1<
20、z
21、<2内：10/8/202137iii)在2<
22、z
23、<+内:10/8/202138例2把函数[解]因有10/8/20213910/8/202140
