解析函数的幂级数表示复习教案

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1、时间2013年编号4复变函数第4章复习总结教案组别第4小组组长王沛楚讲解员刘小翠王沛楚教案作者黄月梅华利蓉刘青华李倩茹刘小翠马丽马雪燕彭伊琳郝春艳曹阳董文建叶盈曾佳2013年06月第4章解析函数的幂级数表示复习教案教学课题：解析函数的幂级数表示的复习总结教学目标：通过对整章知识的复习，让同学们对第四章有个整体的把握，掌握几种基本题型的做法。教学方法：讲授，解析典型习题教学重点：幂级数的性质，泰勒定理及其基本展式，零点的分类及零点的阶，最大模与最小模原理。教学难点：利用幂级数的性质，泰勒定理及其基本展式，零点的分类及零点的阶，最大模与最小模原理等具体知识来解决实际问题

2、。教学过程：一把本章的基本内容回顾一遍4.1复数列与复级数P136——p148｛4.1.1复数列与复级数（敛散性）4.1.2复函述项级数的一致收敛与判别（定义与判别）4.1.3复数项级数和函数的性质（连续性、逐项积分性、逐项微分性）重点掌握：幂级数收敛半径R的计算，幂级数的几个性质，加减性、乘积性、连续性逐项积分性、和函数的解析性与逐项微分性。定理：4.124.134.154.16例题4.84.2幂级数p149——p155｛4.2.1幂级数的敛散性（幂级数的定义、阿贝尔第一定理）4.2.2幂级数收敛半径的计算4.2.3幂级数的几个性质重点掌握：幂级数收敛半径R的计算

3、lim,或lim，或lim幂级数的几个性质，加减性、乘积性、连续性逐项积分性、和函数的解析性与逐项微分性。定理：4.124.134.154.16例题4.84.3泰勒定理与解析函数的幂级数展开p156——p165｛4.3.1泰勒定理4.3.2初等解析函数的基本展式重点掌握：泰勒定理、基本展式（e^zCos(z)Sin(z)ln(1+z)ln(1-z)1/(1+z)1/(1-z)(1+z)^a)了解解析函数的幂级数定义法和奇点定义。定理：4.184.194.20例题4.9——例题4.174.4解析函数零点的孤立性与唯一性p165——p175｛4.4.1解析函数零点的孤立

4、性4.4.2解析函数的唯一性4.4.3最大模与最小模原理4.4.4施瓦兹引理重点掌握：零点的分类及零点的阶、解析函数的唯一性、最大模与最小模原理。定义：4.84.94.10定理：4.214.224.234.24引理：4.1例题4.18——例题4.20，例题4.23——例题4.27二讲解四个习题1.p177—11小结：幂级数内闭一致收敛性和绝对收敛性，逐项积分性2.p180—21(2)指出下列函数在零点z=0的阶.6sinz3+z3(z6−6)；小结：零点的阶的计算3.p181—28设f(z)和g(z)都在区域D内解析，且f(z)g(z)≡0，证明：在区域D内，或者f

5、(z)≡0或者g(z)≡0.证明：由题设，若在区域D内，f(z)≡0，则结论成立。否则存在a∈D，使得f(a)≠0，由连续函数的局部不等性，存在点a的邻域U(a)⊂D，使得在U(a)内，f(z)≠0，注意到f(z)g(z)≡0，从而，在U(a)内，g(z)≡0。由解析函数的惟一性，在区域D内，g(z)≡0。小结：连续函数的局部不等性，解析函数的唯一性4.p181—31设D为有界区域，其边界为光滑简单闭曲线C，f(z)在区域D内解析，在闭域D=D+C上连续，其模f(z)在C上为常数．证明：若f(z)不恒为常数，则f(z)在D内至少有一个零点.（提示：用反证法及最大与最

6、小模原理）证明（反证法）：倘若f(z)在D内无零点，即f(z)≠0，z∈D，由最大模和最小模原理f(z)在D内的最大值和最小值都可在D的边界C上取到，注意到f(z)在C上为常数，所以从而在D内f(z)≡常数，由解析函数为常函数的特点，在D内，f(z)恒为常数，这与题设“f(z)不恒为常数”矛盾故f(z)在D内至少有一个零点小结：反证，最大模与最小模原理