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1、第4章:解析函数的幕级数表示法§1复级数的基本性质一、教学目标或要求:掌握复级数的基本性质二、教学内容(包括基木内容、重点、难点):基本内容:复级数的基本性质解析函数项级数垂点:解析函数项级数的性质难点:解析函数项级数的性质三、教学手段与方法:讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习:1§1复级数的基本性质1.复数项级数定义4.1对于复数项的无穷级数(4.1)©O工Q”=%+勺++…,n=l令比■气”・・y(部分和),若台部分和复数列{咼有有限复数极限丄limJL2、限极限,则称护发散。定理4.1设%遇••沁,则工碍s=aIR)O送斗・a•习k.-fc«-l*4■鼻■气+吗十勺+iAjj十叫+ib^■aj+・・・H■岭+3©十・・・4■毎)即得。litnSL-q+ibQo"lim/LJh"Lhi&«-»w■«•«•定理4.2复级数(4.1)收敛于的充要条件是:对任给的£>0,存在正整数N=N2),当n>NUp为任何正整数吋3、d"+l(Z)+・・・d“+“(Z)4、数(4.1)收敛的一个充分条件是级数匕5、收敛。/:=!oooo定义4.2级数工6、%7、收敛,则称级数工d”为绝对收敛;非绝对收敛的收敛级n=ln=l数称为条件收敛。定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不致改变其和,(2)设有两绝对收敛的复数项级数,Jt-4把它们各项相乘所得的级数*-0M¥(Mi昴也绝对收敛,且它的和就等于两个级数的和Z积丹o1.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数£//£)的各项均在点集D上有定义,且在D上存W=1在一个函数,对于D上的每一点,级数均收敛于/8、(z),则称/(z)为级数的和函数,记为/(2)=立九(Z)・W=1定义4.4用杆方式描述:对于给定的任意仗/;,使当n>N时,有其中,斗・»(£。如果N与Z无关,则AJB称级数在。上一致收敛于/(r)ooo定理4.5对于级数工.九(z)在点集D上一致收敛于函数的充要条件是:对任给^=1的£>0,存在正整数N=N(£),使当时n>N,对一切zwD,均有I九+1⑵+…九+p(Z)9、V£。如果对于某区域D上所有各点z,复数项级数各项的模虚切10、S气,而正的常数项级数勺吨收敛,则复变函数项级数在【)上绝对且一致收敛。级数文:牲称MV*为的强11、级数,即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.以上称为外尔斯特拉斯M—判定法。定理4.6级数£^(z)在点集D上连续,并且一致收敛于函数/(z),则和函数71=1/(z)=£a⑵也在Q上连续。n=定理4.7如果级数文/&)在D上一致收敛于/(r)如果在C上连续,则沿C可逐项积分,且卩@扯■送[£&址OQ定理4.8舌在圆«f12、"内闭-致收敛QV055爭®在闭圆忍:lZP13、《Q上一致收敛。显然。证明级数在时一致收敛。当田・1时,出八刽坊,由矣收敛,根据优级数判别法即得。证明台在田"内内闭-致收敛,但在"上不-致收敛。证一31也514、叶“("“・・・),乂幺在…时收敛,则由优级数判别法即得台在kl<'上一致收敛。从而6在内闭一致收敛。=-,V^eN.取8,取斗丹5■胡则环IZ肆"+…+z肆枷28^9故柯西一致收敛判别法即知益”在忖''上不一致收敛。证二反证法。若歹在H0,3^eN,>MVpeN,V15、z16、<1r17、z>-l+-+z>*18、/“(z)在D内内闭一致/:=!收敛于函数/(z):.f(z)二£a(z),贝I」:n=l(1).f(z)在区域D内解析⑵严⑵=£f叫⑵(zeD,p=1,2,…)./19、=1证(1)%€°*>0・上:2・冷卜2全含于Q内,由J;(痴在Q内解析知几(刃在丘连续,又孚⑴在Q内内闭-致收敛于"),故爭®在疋上-致收敛于/0,从而由和的连续性定理知,/:力在疋连续。另一方面,取U为卯-毛20、5内任一围线,由于£(可在D内解析,故且“)在9JPc上连续又由爭%°内闭-致收敛于m知爭⑷在。上一致收敛于/"),由逐项可积定理知pe■却3*-0因此由摩21、勒拉定理<仗〉在K内解析,从而在引解析,由毛的任意性即知/&〉在Q内解析。⑵全含于£)内,记乏的边界为6—炉,则由/&〉、几05在D内解析《・人2■…〉,知心、心)在疋上解析。从曲丄鶴mm5"isJBJP又*
2、限极限,则称护发散。定理4.1设%遇••沁,则工碍s=aIR)O送斗・a•习k.-fc«-l*4■鼻■气+吗十勺+iAjj十叫+ib^■aj+・・・H■岭+3©十・・・4■毎)即得。litnSL-q+ibQo"lim/LJh"Lhi&«-»w■«•«•定理4.2复级数(4.1)收敛于的充要条件是:对任给的£>0,存在正整数N=N2),当n>NUp为任何正整数吋
3、d"+l(Z)+・・・d“+“(Z)4、数(4.1)收敛的一个充分条件是级数匕5、收敛。/:=!oooo定义4.2级数工6、%7、收敛,则称级数工d”为绝对收敛;非绝对收敛的收敛级n=ln=l数称为条件收敛。定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不致改变其和,(2)设有两绝对收敛的复数项级数,Jt-4把它们各项相乘所得的级数*-0M¥(Mi昴也绝对收敛,且它的和就等于两个级数的和Z积丹o1.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数£//£)的各项均在点集D上有定义,且在D上存W=1在一个函数,对于D上的每一点,级数均收敛于/8、(z),则称/(z)为级数的和函数,记为/(2)=立九(Z)・W=1定义4.4用杆方式描述:对于给定的任意仗/;,使当n>N时,有其中,斗・»(£。如果N与Z无关,则AJB称级数在。上一致收敛于/(r)ooo定理4.5对于级数工.九(z)在点集D上一致收敛于函数的充要条件是:对任给^=1的£>0,存在正整数N=N(£),使当时n>N,对一切zwD,均有I九+1⑵+…九+p(Z)9、V£。如果对于某区域D上所有各点z,复数项级数各项的模虚切10、S气,而正的常数项级数勺吨收敛,则复变函数项级数在【)上绝对且一致收敛。级数文:牲称MV*为的强11、级数,即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.以上称为外尔斯特拉斯M—判定法。定理4.6级数£^(z)在点集D上连续,并且一致收敛于函数/(z),则和函数71=1/(z)=£a⑵也在Q上连续。n=定理4.7如果级数文/&)在D上一致收敛于/(r)如果在C上连续,则沿C可逐项积分,且卩@扯■送[£&址OQ定理4.8舌在圆«f12、"内闭-致收敛QV055爭®在闭圆忍:lZP13、《Q上一致收敛。显然。证明级数在时一致收敛。当田・1时,出八刽坊,由矣收敛,根据优级数判别法即得。证明台在田"内内闭-致收敛,但在"上不-致收敛。证一31也514、叶“("“・・・),乂幺在…时收敛,则由优级数判别法即得台在kl<'上一致收敛。从而6在内闭一致收敛。=-,V^eN.取8,取斗丹5■胡则环IZ肆"+…+z肆枷28^9故柯西一致收敛判别法即知益”在忖''上不一致收敛。证二反证法。若歹在H0,3^eN,>MVpeN,V15、z16、<1r17、z>-l+-+z>*18、/“(z)在D内内闭一致/:=!收敛于函数/(z):.f(z)二£a(z),贝I」:n=l(1).f(z)在区域D内解析⑵严⑵=£f叫⑵(zeD,p=1,2,…)./19、=1证(1)%€°*>0・上:2・冷卜2全含于Q内,由J;(痴在Q内解析知几(刃在丘连续,又孚⑴在Q内内闭-致收敛于"),故爭®在疋上-致收敛于/0,从而由和的连续性定理知,/:力在疋连续。另一方面,取U为卯-毛20、5内任一围线,由于£(可在D内解析,故且“)在9JPc上连续又由爭%°内闭-致收敛于m知爭⑷在。上一致收敛于/"),由逐项可积定理知pe■却3*-0因此由摩21、勒拉定理<仗〉在K内解析,从而在引解析,由毛的任意性即知/&〉在Q内解析。⑵全含于£)内,记乏的边界为6—炉,则由/&〉、几05在D内解析《・人2■…〉,知心、心)在疋上解析。从曲丄鶴mm5"isJBJP又*
4、数(4.1)收敛的一个充分条件是级数匕
5、收敛。/:=!oooo定义4.2级数工
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7、收敛,则称级数工d”为绝对收敛;非绝对收敛的收敛级n=ln=l数称为条件收敛。定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不致改变其和,(2)设有两绝对收敛的复数项级数,Jt-4把它们各项相乘所得的级数*-0M¥(Mi昴也绝对收敛,且它的和就等于两个级数的和Z积丹o1.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数£//£)的各项均在点集D上有定义,且在D上存W=1在一个函数,对于D上的每一点,级数均收敛于/
8、(z),则称/(z)为级数的和函数,记为/(2)=立九(Z)・W=1定义4.4用杆方式描述:对于给定的任意仗/;,使当n>N时,有其中,斗・»(£。如果N与Z无关,则AJB称级数在。上一致收敛于/(r)ooo定理4.5对于级数工.九(z)在点集D上一致收敛于函数的充要条件是:对任给^=1的£>0,存在正整数N=N(£),使当时n>N,对一切zwD,均有I九+1⑵+…九+p(Z)
9、V£。如果对于某区域D上所有各点z,复数项级数各项的模虚切
10、S气,而正的常数项级数勺吨收敛,则复变函数项级数在【)上绝对且一致收敛。级数文:牲称MV*为的强
11、级数,即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.以上称为外尔斯特拉斯M—判定法。定理4.6级数£^(z)在点集D上连续,并且一致收敛于函数/(z),则和函数71=1/(z)=£a⑵也在Q上连续。n=定理4.7如果级数文/&)在D上一致收敛于/(r)如果在C上连续,则沿C可逐项积分,且卩@扯■送[£&址OQ定理4.8舌在圆«f
12、"内闭-致收敛QV055爭®在闭圆忍:lZP
13、《Q上一致收敛。显然。证明级数在时一致收敛。当田・1时,出八刽坊,由矣收敛,根据优级数判别法即得。证明台在田"内内闭-致收敛,但在"上不-致收敛。证一31也5
14、叶“("“・・・),乂幺在…时收敛,则由优级数判别法即得台在kl<'上一致收敛。从而6在内闭一致收敛。=-,V^eN.取8,取斗丹5■胡则环IZ肆"+…+z肆枷28^9故柯西一致收敛判别法即知益”在忖''上不一致收敛。证二反证法。若歹在H0,3^eN,>MVpeN,V
15、z
16、<1r
17、z>-l+-+z>*
18、/“(z)在D内内闭一致/:=!收敛于函数/(z):.f(z)二£a(z),贝I」:n=l(1).f(z)在区域D内解析⑵严⑵=£f叫⑵(zeD,p=1,2,…)./
19、=1证(1)%€°*>0・上:2・冷卜2全含于Q内,由J;(痴在Q内解析知几(刃在丘连续,又孚⑴在Q内内闭-致收敛于"),故爭®在疋上-致收敛于/0,从而由和的连续性定理知,/:力在疋连续。另一方面,取U为卯-毛
20、5内任一围线,由于£(可在D内解析,故且“)在9JPc上连续又由爭%°内闭-致收敛于m知爭⑷在。上一致收敛于/"),由逐项可积定理知pe■却3*-0因此由摩
21、勒拉定理<仗〉在K内解析,从而在引解析,由毛的任意性即知/&〉在Q内解析。⑵全含于£)内,记乏的边界为6—炉,则由/&〉、几05在D内解析《・人2■…〉,知心、心)在疋上解析。从曲丄鶴mm5"isJBJP又*
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