第5章：解析函数的幂级数表示

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1、第4章：解析函数的幕级数表示法§1复级数的基本性质一、教学目标或要求：掌握复级数的基本性质二、教学内容（包括基木内容、重点、难点）：基本内容：复级数的基本性质解析函数项级数垂点：解析函数项级数的性质难点：解析函数项级数的性质三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：1§1复级数的基本性质1.复数项级数定义4.1对于复数项的无穷级数(4.1)©O工Q”=%+勺++…,n=l令比■气”・・y（部分和），若台部分和复数列｛咼有有限复数极限丄limJL

2、限极限，则称护发散。定理4.1设％遇••沁，则工碍s=aIR)O送斗・a•习k.-fc«-l*4■鼻■气+吗十勺+iAjj十叫+ib^■aj+・・・H■岭+3©十・・・4■毎）即得。litnSL-q+ibQo"lim/LJh"Lhi&«-»w■«•«•定理4.2复级数(4.1)收敛于的充要条件是：对任给的£>0,存在正整数N=N2),当n>NUp为任何正整数吋

3、d"+l（Z）+・・・d“+“（Z）

4、数(4.1)收敛的一个充分条件是级数匕

5、收敛。/:=!oooo定义4.2级数工

6、%

7、收敛，则称级数工d”为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级n=ln=l数称为条件收敛。定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不改变其绝对收敛性，亦不致改变其和，(2)设有两绝对收敛的复数项级数，Jt-4把它们各项相乘所得的级数*-0M¥(Mi昴也绝对收敛，且它的和就等于两个级数的和Z积丹o1.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数£//£)的各项均在点集D上有定义，且在D上存W=1在一个函数，对于D上的每一点，级数均收敛于/

8、(z),则称/(z)为级数的和函数，记为/(2)=立九(Z)・W=1定义4.4用杆方式描述：对于给定的任意仗/；,使当n>N时，有其中，斗・»(£。如果N与Z无关，则AJB称级数在。上一致收敛于/(r)ooo定理4.5对于级数工.九(z)在点集D上一致收敛于函数的充要条件是：对任给^=1的£>0,存在正整数N=N(£),使当时n>N,对一切zwD,均有I九+1⑵+…九+p(Z)

9、V£。如果对于某区域D上所有各点z,复数项级数各项的模虚切

10、S气，而正的常数项级数勺吨收敛，则复变函数项级数在【)上绝对且一致收敛。级数文:牲称MV*为的强

11、级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛.以上称为外尔斯特拉斯M—判定法。定理4.6级数£^(z)在点集D上连续，并且一致收敛于函数/(z),则和函数71=1/(z)=£a⑵也在Q上连续。n=定理4.7如果级数文/&)在D上一致收敛于/(r)如果在C上连续，则沿C可逐项积分，且卩@扯■送［£&址OQ定理4.8舌在圆«f

12、"内闭-致收敛QV055爭®在闭圆忍：lZP

13、《Q上一致收敛。显然。证明级数在时一致收敛。当田・1时,出八刽坊,由矣收敛，根据优级数判别法即得。证明台在田"内内闭-致收敛，但在"上不-致收敛。证一31也5

14、叶“（"“・・・），乂幺在…时收敛，则由优级数判别法即得台在kl<'上一致收敛。从而6在内闭一致收敛。=-,V^eN.取8,取斗丹5■胡则环IZ肆"+…+z肆枷28^9故柯西一致收敛判别法即知益”在忖''上不一致收敛。证二反证法。若歹在H0,3^eN,>MVpeN,V

15、z

16、<1r

17、z>-l+-+z>*

18、/“(z)在D内内闭一致/:=!收敛于函数/(z):.f(z)二£a(z),贝I」:n=l(1).f(z)在区域D内解析⑵严⑵=£f叫⑵(zeD,p=1,2,…)./

19、=1证(1)%€°*>0・上：2・冷卜2全含于Q内，由J；(痴在Q内解析知几(刃在丘连续，又孚⑴在Q内内闭-致收敛于")，故爭®在疋上-致收敛于/0,从而由和的连续性定理知，/:力在疋连续。另一方面，取U为卯-毛

20、5内任一围线，由于£(可在D内解析，故且“)在9JPc上连续又由爭%°内闭-致收敛于m知爭⑷在。上一致收敛于/"),由逐项可积定理知pe■却3*-0因此由摩

21、勒拉定理<仗〉在K内解析，从而在引解析，由毛的任意性即知/&〉在Q内解析。⑵全含于£)内，记乏的边界为6—炉，则由/&〉、几05在D内解析《・人2■…〉，知心、心)在疋上解析。从曲丄鶴mm5"isJBJP又*