第四章 解析函数的级数表示.ppt

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1、第四章解析函数的级数表示§4.2复变函数项级数§4.1复数项级数§4.3泰勒级数§4.4洛朗级数§4.1复数项级数一、复数序列二、复数项级数一、复数序列1.基本概念定义设为复数，称为复数序列。极限如果对任意给定的e>0，相应地存在自然数N，设为一复数序列，又设为一确定的复数，当n>N时，总有

2、zn-a

3、

4、的充要条件定理设证明充分性“”则当时，若解由或发散，即得也发散。已知故序列收敛。附考察实序列的收敛性。(其中见上例)根据复数模的三角不等式有注(1)序列收敛序列收敛；(2)例设讨论序列的收敛性。解即序列收敛。二、复数项级数1.基本概念定义设为一复数序列，(1)称为复数项级数，(2)称为级数的部分和；并且极限值s称为级数的和；(3)如果序列收敛，即则称级数收敛，(4)如果序列不收敛，则称级数发散。简记为二、复数项级数2.复数项级数收敛的充要条件级数和都收敛。则级数收敛的充分必要条件是定理设证明令和分别为级数和的部分和，

5、则级数的部分和即得级数收敛的充要条件是和都收敛。由于序列收敛的充要条件是和都收敛，P80定理4.1二、复数项级数3.复数项级数收敛的必要条件则收敛的必要条件是定理设等价于因此收敛的必要条件是证明由于级数收敛的充要条件是和都收敛，而实数项级数和收敛的必要条件是：P80定理4.3级数收敛，解但级数发散，因此级数发散。(几何级数时收敛)(p级数时发散)P81例4.2部分解由于级数和均为收敛，(绝对收敛)故有级数和均收敛，即得级数收敛。记为在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？P81例4.2部分4.复数项级数的绝对收敛

6、与条件收敛二、复数项级数定义(1)若收敛，则称绝对收敛。(2)若发散，收敛，则称条件收敛。由收敛，证明收敛，定理若收敛，则必收敛。又根据正项级数的比较法可得，和均收敛，和均收敛，收敛。P81P80定理4.4解由于即绝对收敛，故收敛。分析由于发散，(p级数，比阶法)因此不能马上判断是否收敛。解故级数收敛。记为(莱布尼兹型的交错级数)收敛，收敛，轻松一下吧……