ARMA模型的时域特性ppt课件.ppt

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1、ARMA模型的时间特性时间序列之三Green函数系统稳定性ARMA模型，一方面，它基于观测时间序列建立起来的随机微分方程，因而它解释了动态数据的统计特性；另一方面，由于可视为某一系统的输出，因而，它又揭示了产生此动态数据的系统的动态特性，但不论是数据的统计特性，还是系统的动态特性，均可在时域和频域中得到描述，所有这些特性，构成了ARMA模型的基本特性。本章重点讨论ARMA模型的最主要的时域特性——系统的单位脉冲响应函数和动态数据的自协方差函数。前者表征系统特性，在时序方法中又称为Green函数，后者

2、表征数据的统计特性。同时，还将介绍ARMA模型的另外两个时域特性——逆函数和偏自相关函数。讨论模型特性的目的在于:一方面，它是实际应用的理论基础，很多实际问题的解决往往就是模型特性直接应用的结果；另一方面，它又是建立模型的必要准备。线性常系数差分方程及其解的一般形式在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效的工具。任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程；因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程根的性质。为了更好地讨论ARMA模型的特性，先简单介绍线性差分方程的一般知识。时间序列

3、模型与线性差分方程线性差分方程在时间序列分析中有着重要的应用，常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义。是普通的n阶差分方程，其中为系统参数的函数，当为常数时，就是常系数n阶差分方程，是个离散序列，也叫驱动函数；是系统的响应。当时，上式变为齐次线性差分方程:称为n阶齐次差分方程。线性差分方程线性差分方程:首先，将最简单的AR(1)模型作为一个例子。AR(1)模型：反复进行迭代AR(1)模型的Gr

4、een函数Green函数的定义当一个相关的平稳时间序列可以用一个无关的平稳时间序列的现在值和过去值的线性组合表示时，其“权”定义为Green函数，即式中，称为Green函数，，令上式的输入为单位脉冲响应，即，则有：Green函数表示系统对t时刻作用的单位脉冲产生的响应。（1）式可以记为其中式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。Green函数的意义格林函数的含义：格林函数是描述系统记

5、忆扰动程度的函数。则AR(1)模型的格林函数可以表示为：AR(1)模型可表示为同时，可用一个无限阶MA来逼近。当t不变，k变动时，Gt-k表示k时刻作用于系统的单位脉冲对现在t时刻响应xt影响的大小；当t变动，k不变时，Gt-k表示系统对于过去k时刻所受到的单位脉冲的衰减情况。AR(1)系统的平稳性系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系Green函数的另一个重要作用是，可表明系统的稳定性这一重要的动态特性。所谓一个系统是不稳定的，是指它在任意瞬间受到一个一瞬即逝的干扰(即脉冲)后，其运动状态偏离平

6、衡位置越来越远，这相当于，是发散的；反之，如果其运动状态最终能回到平衡位置上，这相当于，则称系统是渐进稳定的；一阶系统的稳定性线性系统的稳定性仅由系统本身的固有特性所决定，而与外界无关，即，ARMA模型所描述的线性系统，其稳定性只与AR部分有关，而与MA部分无关，因此，AR(1)，ARMA(1,1)，ARMA(1,m)系统的稳定性问题实质上是一致的，从而可根据Green函数的取值情况判断它们所对应的不同的一阶系统的稳定性。ARMA(2,1)模型的Green函数引入B算子，得：式中，分子为MA部分，特

7、征根；分母为AR部分，对其进行因式分解，有：其特征根为：根据一元二次方程根与系数的关系：下面，根据特征根的取值情况分别进行讨论当时，AR部分具有两个不相等的实根，进行因式分解：式中，可求出根据“泛函理论”中B算子的性质，可进行如下展开：可得ARMA（2,1）模型的Green函数：显然：当时（*表示共轭），AR部分具有一对共轭复根，则有：式中：，当时，AR部分具有两个相同的特征根，则有：此时Green函数为：上式即是二阶其次差分方程在具有重根时的通解形式，则有：ARMA(2,1)系统的稳定性利用特征根

8、判断系统的稳定性条件这个推论在AR(1)中平稳性的条件，同样对ARMA(2,1)模型也依然适应；此时，对于同一阶系统，ARMA(2,1)，AR(2)及ARMA(2,m)模型虽然对应于外界作用方式不同的二阶系统，但它们的稳定性问题是一致的。由于可用二阶和一阶系统组成各种高阶系统，所以研究二阶系统的稳定性是十分必要的。利用特征根判断系统的稳定性当时当时，，系统是渐近稳定；当和中只要有一个大于1，，系统是不稳定的；当或中任一个等于1而另一个的绝对值小于1，Gj收敛于g1或者