ARMA模型的时域特性

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1、第三章ARMA模型的特性ARMA模型，一方面，它基于观测时间序列建立起来的随机微分方程，因而它解释了动态数据的统计特性；另一方面，由于可视为某一系统的输出，因而，它又揭示了产生此动态数据的系统的动态特性。同时，不论是数据的统计特性，还是系统的动态特性，均可在时域和频域中得到描述，所有这些特性，构成了ARMA模型的基本特性。本章重点讨论ARMA模型的最主要的时域特性——系统的单位脉冲响应函数和动态数据的自协方差函数。前者表征系统特性，在时序方法中又称为Green函数，后者表征数据的统计特性。同时，还将介绍ARMA模型的另外两个时域特性——逆函数和偏自相

2、关函数。讨论模型特性的目的在于，一方面，它是实际应用的理论基础，很多实际问题的解决往往就是模型特性直接应用的结果；另一方面，它又是建立模型的必要准备。线性常系数差分方程及其解的一般形式在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效的工具。任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程；因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程根的性质。为了更好地讨论ARMA模型的特性，先简单介绍线性差分方程的一般知识。时间序列模型与线性差分方程线性差分方程在时间序列分析中有着重要的应用，常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分

3、方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义。是普通的n阶差分方程，其中为系统参数的函数，当为常数时，就是常系数n阶差分方程，是个离散序列，也叫驱动函数；是系统的响应。当时，上式变为称为n阶齐次差分方程。线性差分方程线性差分方程齐次线性差分方程设AR(1)模型的Green函数1、AR(1)模型的Green函数首先，将最简单的AR(1)模型作为一个例子。AR(1)模型：反复进行迭代即：Green函数的定义当一个相关的平稳时间序列可以用一个无关的平稳时间序列的现在值和过去值的线性组合表示时，其“权”定义为Green函数，即式

4、中，称为Green函数，，（1）式可以记为其中式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。格林函数的意义格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。Green函数刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。Green函数所描述的动态性完全取决于系统参数。则AR(1)模型的格林函数可以表示为：AR(1)模型可表示为同时，可用一个无限阶MA来逼近。例：下面是参数分别为0.9、0.1的AR（1）系统对扰动的记忆情况。（P46）AR(1)系统的平

5、稳性系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系一阶系统的稳定性Green函数的另一个重要作用是，可表明系统的稳定性这一重要的动态特性。所谓一个系统是不稳定的，是指它在任意瞬间受到一个一瞬即逝的干扰(即脉冲)后，其运动状态偏离平衡位置越来越远，这相当于，是发散的；反之，如果其运动状态最终能回到平衡位置上，这相当于，则称系统是渐进稳定的；线性系统的稳定性仅由系统本身的固有特性所决定，而与外界无关，即，ARMA模型所描述的线性系统，其稳定性只与AR部分有关，而与MA部分无关，因此，AR(1)，ARMA(1,1)，ARMA(1,m)系统的稳定性问题实质上是一致

6、的，从而可根据Green函数的取值情况判断它们所对应的不同的一阶系统的稳定性。2、AR(1)系统的平稳性条件平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（1）系统，将其写成格林函数的表示形式:如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权数对于AR(1)系统即这要求上述条件等价于AR(1)系统的特征方程的根在单位圆内(或方程的根在单位圆外).AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为：的根在单位圆外（或的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：AR(1)的结论可以推广到AR(n)ARMA(2,1)模型的Green函数AR(2)和A

7、RMA(1,1)模型的Green函数AR(2)和ARMA(1,1)模型是ARMA(2,1)模型的特殊形式；描述动态性的Green函数也有上述关系；ARMA(1,1)模型的Green函数ARMA(2,1)系统的平稳性1、用特征根表示的平稳性条件这个推论在AR(1)中平稳性的条件，同样对ARMA(2,1)模型也依然适应；此时，ARMA(2,1)系统的平稳性条件为：即，特征方程的特征根的模在单位圆内ARMA(n,n-1)系统的平稳性2、用自回归系数表示的平稳性条件AR(n)模型的Green函数AR(n)模型Green函数的递推公式为：AR（n）模型，即其中

8、：的平稳性条件为：的根在单位圆外（或的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：第二节逆函数和可逆性（In