《线性ARMA模型》PPT课件

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1、第四章：平稳时间序列模型学习目标●简单滑动平均(MA)模型●简单自回归(AR)模型●混合自回归滑动平均(ARMA)模型平稳时间序列几个重要的平稳过程和模型白噪声过程MA过程AR过程ARMA过程白噪声1）t独立同分布称为独立白噪声，记为{t}~I.I.D(0,2)■如果t还服从正态分布，则该过程{t}~称为为高斯白噪声。白噪声2）弱白噪声随机过程满足a）E(t)=0，对所有tb）E(t2)=2对所有tc）E(ts)=0,对任意ts，或Cov(t,s)=0简称白噪声。记为{t}~WN(0,2)4.1线性时间序列线性时间

2、序列{Yt}:如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即这里，为白噪声.-时刻t的新信息(innovation)(4.1)称为的权重(4.1)有意义要求：所以必须是收敛序列，即当时通常，我们取其中则从而有(4.1.1)(4.1.1)是平稳过程的间隔为的自协方差为对于一般线性过程类似地有对因此，权重与的自相关系数有如下关系：其中，对若平稳序列而言，当时从而随着的增加收敛到04.2滑动平均模型4.2.1滑动平均模型介绍当（4.1）仅仅有有限个权重为非零时，我们称之为滑动平均过程，即（4.2）我们称(4.2)为MA(q)模型或者q阶滑动平均

3、模型.其中t是白噪声过程.这里，和i,i=1,2,…q称为参数或系数。注：q0滑动平均模型1-阶滑动平均模型其中t是白噪声过程.（4.2-1）和为参数或系数。表达式（4.2-1）是1－阶滑动平均模型，用MA（1）表示例如rt=0.1+t＋0.3t－1MA(1)另一种表达方式本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。q-阶滑动平均模型和过程判断下面是几阶MA模型a)Yt=0.1+t＋0.2t－1＋0.1t－2b)Yt=0.1+t＋0.3t－1＋0.21t－2－0.1t－

4、3c)Yt=0.1+t＋0.3t－44.2-2MA模型的性质MA(1)模型MA(q)模型自相关函数MA(1)模型：为简单起见，假定对两端乘以，我们有当时，注意到我们有MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的MA(2)模型自协方差函数自相关系数是MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的MA(q)模型自相关系数MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的，MA(q)模型具有有限记忆性MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾练习题P59.4.19P59.4.20P58.4.4P58.4.1P58.4.25.计算的自相关函数。作业1.证明

5、MA(q)过程自相关函数应满足的关系式.3.4.12(a)2.P594.144.3自回归模型其中{t}是白噪声过程。，表达式(4.3)是P-阶自回归模型{rt}为p-阶自回归过程,表示为AR(p)是未知参数或系数。(4.3)自回归模型是用自身做回归变量AR(1)过程（4.3-1）因方差非负，要求（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是在平稳性条件下注意到与独立，（4.3-2）AR(1)模型的自相关函数进一步有递推式：因，故这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从开始以比率为的指数速度衰减。由（4.3-2），我们有自协方差

6、函数自相关函数AR(1)参数t=0.1+0.5t-1+tt=0.1-0.5t-1+t=0.1/(1-0.5)=0.2=0.1/(1+0.5)j=0.5jj=(-0.5)jAR(2)模型两边乘以导致自相关协方差函数满足这个结果称为平稳AR(2)模型的矩方程均值函数满足利用AR(2)模型可以写为上面的结果表明平稳AR(2)序列的ACF满足二阶差分方程其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即平稳AR(2)模型的自相关系数函数满足有时用L表示延迟算子，如与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(

7、2)模型的特征根这个方程的解是平稳性：AR(2)时间序列的平稳性条件是它的两个特征根的模都小于1对应AR(1)模型:特征根为从而是平稳的，我们有AR(2)模型的平稳性要求，其中这导致，及特征多项是AR(p)模型称之该AR(p)模型的特征方程。AR(p)模型的平稳性条件：上述方程的所有解的模都大于1。由于解的倒数为该模型的特征根。因此，平稳性要求所有特征根的模都小于1。均值函数模型对应的多项式方程为