FINTS第四章线性ARMA模型

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1、第四章：线性时间序列分析及其应用学习目标●简单滑动平均(MA)模型●简单自回归(AR)模型●混合自回归滑动平均(ARMA)模型平稳时间序列几个重要的平稳过程和模型白噪声过程MA过程AR过程ARMA过程平稳过程的参数自协方差和自相关函数偏自相关函数4.1白噪声和线性时间序列随机过程满足1）E(t)=0，对所有t2）E(t2)=2对所有t3）E(ts)=0,对任意ts，或Cov(t,s)=0弱白噪声随机过程（Weaklywhitenoiseprocess），简称白噪声。记为{t}~WN(0,2)白噪声过程4）不同时刻随机变量是相互独立的随机变量，并且同分布称为独立白噪声，记为

2、{t}~I.I.D(0,2)如果再增加一个条件5）服从正态分布该过程为高斯白噪声（Gaussianwhitenoiseprocess）。线性时间序列时间序列{rt}称为线性时间序列，如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即这里，为白噪声也表示时间序列在t时刻出现了的新的信息，即称为时刻t的新信息(innovation)(4.1)称为的权重若是平稳的，利用的独立性，我们容易得到其中是的方差。由于所以必须是收敛序列，即当时的间隔为的自协方差为因此，权重与的自相关系数有如下关系：其中，对若平稳序列而言，当时从而随着的增加收敛到04.2MA模型4.2.1MA模型介绍当（4.1）仅仅有

3、有限个权重为非零时，我们称之为滑动平均过程，即（4.2）我们称(4.2)为MA(q)模型或者q阶滑动平均模型.其中t是白噪声过程.这里，和i,i=1,2,…q称为参数或系数。注：q0滑动平均模型1-阶滑动平均模型其中t是白噪声过程.（4.2-1）和为参数或系数。表达式（4.2-1）是1－阶滑动平均模型，{rt}是1-阶滑动平均过程。用MA（1）表示例如rt=0.1+t＋0.3t－1MA(1)另一种表达方式本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。q-阶滑动平均模型和过程下面是几个MA模型Yt=0.1+t＋0.2t－1＋0.1

4、t－2Yt=0.1+t＋0.3t－1＋0.21t－2－0.1t－3Yt=0.1+t＋0.3t－44.2-2MA模型的性质MA(1)模型MA(q)模型自相关函数MA(1)模型：为简单起见，假定对两端乘以，我们有当时，注意到我们有MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的MA(2)模型自协方差函数自相关系数是MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的MA(q)模型自相关系数MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的，MA(q)模型具有有限记忆性MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾练习题1.证明MA(q)过程自相关函数应满足的关系式2.计算的自相关函数。4.2-3识别MA

5、模型的阶自相关函数是识别MA模型的阶的有用工具。如果时间序列具有自相关函数，若，但对有，则服从一个MA(q)模型4.2-4用MA模型预测MA(1)过程的向前一步预测，由模型知取条件期望我们有向前一步预测误差的方差为MA(1)过程的向前二步预测，由模型知我们有向前二步预测误差的方差为上面的结果表明MA(1)的向前两步预测即是模型的无条件均值类似地对MA(2)模型，我们有这样，MA(2)模型的向前两步以后的预测即达到序列的均值一般地，对于一个MA(q)模型，向前q步以后的预测就达到了模型的均值4.3自回归模型AutoregressiveModel其中{t}是白噪声过程。，表达式(4.3)是P-

6、阶自回归模型{rt}为p-阶自回归过程,表示为AR(p)是未知参数或系数。(4.3)AR(1)过程（4.3-1）因方差非负，要求（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是在平稳性条件下注意到与独立，（4.3-2）AR(1)模型的自相关函数进一步有递推式：因，故这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从开始以比率为的指数速度衰减。由（4.3-2），我们有自协方差函数自相关函数AR(1)参数t=0.1+0.5t-1+tt=0.1-0.5t-1+t=0.1/(1-0.5)=0.2=0.1/(1+0.5)j=0.5jj=(-0.5)jAR(2)模型两边乘以导致自

7、相关协方差函数满足这个结果称为平稳AR(2)模型的矩方程均值函数满足利用AR(2)模型可以写为上面的结果表明平稳AR(2)序列的ACF满足二阶差分方程其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即平稳AR(2)模型的自相关系数函数满足有时用L表示延迟算子，如与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(2)模型的特征根这个方程的解是平稳性：AR(2)时间序列的平稳性条件是它的两个特