FINTS第四章线性ARMA模型

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1、模型定阶或识别假设数据已经平稳化，下一步是确定模型的阶数。有两种方法，一种是根据随机过程的参数特征，一种是根据信息准则。下面是几类随机过程的参数特征：三种随机过程偏自相关函数的特点三类过程的偏自相关函数和自相关函数MA（q）AR（p）ARMA（p，q）自相关函数q步截尾拖尾拖尾偏自相关函数拖尾p步截尾拖尾定阶样本自相关函数的计算和判断定阶H0：i=i+1=…=0用前面介绍的方法计算出样本自相关系数，零假设成立时近似服从正态分布N(0,1/T)所以近似5%显著水平下，每个在两倍标准差之间，则不能拒绝零假设。具体

2、地说，如果-2/<<2/,推断i=0。定阶当样本长度充分大时，估计的偏自相关系数满足：如果*k=0，k>p那么估计的偏相关系数近似服从正态分布N（0，1/T）所以近似5%显著水平下，如果-2/T1/2<*k<2/T1/2,推断*k=0，k>p成立评价模型的优劣准则根据信息准则进行模型识别(定阶)残差平方和最小化AIC(Akaike’sinformationcriterion)BIC(SchwartzBayesianinformationcriterion)准则对自由度进行调整k是模型中未知参数的个数,et

3、是估计出的误差定阶：AIC准则和BIC准则不同的书对AIC和BIC使用不同的变形。经常使用的有两种AIC（p，q）=ln()+2(p+q)/TBIC（p，q）=ln()+(p+q)ln(T)/TT样本长度，如果有常数项p+q被p+q+1代替，ln表示自然对数。在ARMA模型中需要选择p和q，所以用p+q代替k。是对噪声项方差的估计定阶：AIC准则和BIC准则AIC（p，q）=－2lnL/T+2(p+q)/TBIC（p，q）=-2lnL/T+(p+q)ln(T)/TLnL是模型的对数似然函数值Q是与参数无关的量。因

4、为我们只关心使得AIC或BIC最小的值，所以忽略Q.带入对数似然函数表达式中，可以发现与前面的AIC和BIC的表达是一致的。AIC和BIC判断步骤（1）给定滞后长度的上限P和Q，一般取为T/10，Ln(T),（2）修改样本区间使得滞后长度不出现负值。（3）对任意一对滞后长度p=0，1，…，P，q=0，1，…，Q，分别估计模型ARMA（p，q）（4）代入上面的公式，计算出AIC(p，q)和BIC(p，q)（5）最小值对应的p，q值作为ARMA模型的阶数。用AIC和BIC准则确定阶数AIC准则--------MA(1

5、)q0123P0-7.415-7.455-7.426-7.3731-7.39-7.395-7.422-7.2722-7.433-7.383-7.174-7.221用AIC和BIC准则确定阶数BIC--------白噪声q0123P0-7.415-7.411-7.338-7.2391-7.346-7.251-6.998-7.0012-7.345-7.251-6.998-7.001练习：P17915(9)极大似然估计:以AR(1)为例t=c+t-1+t假设~i.i.d.N(0,2)估计:=(c,,2

6、)’已知:y1,y2,…,yTE(1)=c/(1-)E(1-)2=2/(1-2)极大似然估计当1的观测已知时，2的条件分布2=c+1+2（2

7、1=y1）~N(c+y1,2)极大似然估计Y1,Y2的联合分布密度函数，是条件密度和边际密度相乘f2，Y1(y2，y1;)=f2

8、Y1(y2

9、y1;)f1(y1;)类似的，已知y1,y2，3的条件分布极大似然估计三者的联合分布f3，2，Y1(y3，y2，y1;)=f3

10、Y2，Y1(y3

11、y2，y1;)f2

12、Y1(y2

13、

14、y1;)f1(y1;)一般给定y1,y2,…yt-1，t的条件分布只和yt-1有关极大似然估计ft,Yt-1，…,Y1(yt,yt-1，…,y1;)=f1(y1;)ft

15、Yt-1(yt

16、yt-1;)（4.17）估计：满足下面的条件的解求解未知参数的方程是非线性的，如果只关心（2，…，T）的条件联合分布，得到条件极大似然函数。极大似然估计同样通过解方程来得到未知参数的估计：这时得到的是线性方程组最小二乘估计法：计算例子-produceastationaryAR(2)process:yi=-

17、0.6yi-1+0.80yi-2+xiandfindtheestimateofparametersMatlabcode:x=randn(1000,1);y=filter(1,[1-0.60.08],x);%产生上述AR(2)过程m=ar(y,2)模型的检验检验残差是否是白噪声过程1）画出残差的折线图2）画出残差的ACF,PACF3)计算统计量QBox-PierceQ-检