ch5-特征值和特征向量ppt课件.ppt

《ch5-特征值和特征向量ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、ch5矩阵的特征值和特征向量矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分.它们不仅在数学的各分支，如微分方程、差分方程中有重要应用，而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用.如物理、力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程组的解、迭代法求线性方程组近似解等问题都会用到该理论。作下面的乘法得引例矩阵与向量的乘法设5.1特征值和特征向量是原像的倍数.二

2、元实向量1，2的像A1，A23与A3就不具有这个性质.一、矩阵的特征值与特征向量的概念定义5.1设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量使关系式A=成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量称为A的对应于特征值的特征向量.为什么应该是非零向量？二、矩阵的特征值与特征向量的求法为了进一步讨论矩阵A的特征值和特征向量的计算方法，把定义公式A=改写成(I–A)=0即是齐次线性方程组(I–A)x=0的非零解.det(I–A)=0由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

3、特征多项式和特征方程的定义定义5.2设A=(aij)为n阶矩阵，含有未知数的矩阵I–A称为A的特征矩阵.其行列式称为A的特征多项式.det(I–A)=0称为A的特征方程.推论1如果是A的属于0的特征向量，则c(c0为任意常数)也是A的属于0的特征向量.推论2如果1,2都是A的属于0的特征向量，且1+20，则1+2也都是A的属于0的特征向量.由齐次线性方程组解的性质:例设矩阵求A的特征值与特征向量.解A的特征多项式为所以，A的特征值为当时,解方程组即解之得基础解系为

4、所以是对应于的全部特征向量;21=l当时,解方程组解之得基础解系为即所以是对应于的全部特征向量,132-==ll例2证明n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.证：因为它们的特征多项式为I-A=(a11)(a22)(ann)I-B=(a11)(a22)(ann)所以其特征值都是a11,a22,,ann.练习解求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.计算的特征多项式

5、I–A

6、;2.求特征方程

7、I–A

8、=0的

9、全部根1,2,···,n,也就是A的全部特征值;3.对于特征值i,求齐次方程组(iI-A)x=0的非零解,也就是对应于i的特征向量.关于矩阵的特征值的几点说明1.由于n阶矩阵的特征方程是一元n次方程，所以在复数域上，n阶矩阵一定有n个特征值，但不一定有n个实特征值.2.若n阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一定各不相同,即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.特性方程的k重根叫做k重特征值。3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.一个特征向量不能属于不同的特征值.如果x同时是A的属于

10、特征值l1,l2(l1l2)的特征向量,即有则l1x=l2x即(l1-l2)x=0.由于l1-l20,则x=0,而这是不可能的.例3设矩阵A为对合矩阵(即A2=E),且A的特征值都是1,证明:A=E.由于A的特征值都是1,则-1不是A的特征值,即

11、A+E

12、0.因而E+A可逆.A=E.在(E+A)(E-A)=0两端左乘(E+A)-1得由A2=E可得(E+A)(E-A)=0,证明定理1若x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量,则k1x1+k2x2也是A的属于l0的特征向量.(其中k1,k2

13、是任意常数但k1x1+k2x20)四．特征值与特征向量的性质证由于x1,x2是齐次线性方程组(l0I-A)x=0的解,因此k1x1+k2x2也是上式的解。故当k1x1+k2x20时,是A的属于l0的特征向量.在一般情况下，要求出n阶矩阵A的全部特征值是比较困难的．通常需要用数值方法才能求出其近似值．目前已有许多软件可以完成求矩阵特征值的任务.注：定理2设n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,...,ln,证明上式可表示为2n个行列式之和,其中展开后含n1项的行列式有下面n个：所以

14、有(a11+a22+…+ann)n1=由根与系数的关系及常数项相等，得令=0，得det(0E–A)=cn.即结论：当detA=0时,A至少有一个零特征值.当detA0时,A的特征值全为非零数;矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:性质1:若l是矩阵A的特征值,x是A在属于l的特征向量,则(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),(ii)lm是Am的特征值(m是正整数),(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值kl,lm