搭桥三角形面积定值的妙用.doc

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1、搭桥三角形面积定值的妙用2016年江西省中考数学试卷中出了一个反比例函数系数推断题，虽然它也是利用面积进行系数的逆向推断，但它与常见的单个系数k值推断又有很大区别.先看原题：图1题目如图1,直线IJLx轴于点P,且与反比例函数yl=klx(x>0)及y2=k2x(x>0)的图象分别交于点A,B,连接0A,0B,己知ZX0AB的面积为2,则kl-k2=本题要求kl-k2的值，应解决如何将"A0AB的面积”用仅含比例系数kl,k2的代数式来表示.我们知道，当A点在反比例函数yl=klx(x>0)的图象上滑动时，ZX

2、OAP的面积是不变的，SA0AP=12kl.同样，SA0BP=12k2,所以SZXOAB二SZSOAP-SA0BP=kl-k22二2,解得：kl-k2=4.这样看，也不算太难.但对于广大考生来说，在解题方法上，逆向推断加上数形结合本身就存在着困难.解题后，我们要去看一下在思路方法方面存在哪些规律？它的解法可以解决哪一类问题，是否可以作为某一类题的通用方法？答案是肯定的.图2如图2,用平行或垂直于坐标轴的任意一条直线去截第一象限内的两个反比例函数yl=klx和y2=k2x,所得到的以坐标原点和两个交点为顶点的三角

3、形面积是个定值，且这个定值为kl-k22,其中kl>k2>0,这就是其中蕴含着一个规律.这个三角形，我们形象的把它叫做搭桥三角形.运用这个?律，我们能轻松的解决下面的综合判断题:图3例1（2016山东淄博第12题）反比例函数y=ax（a>0,a为常数）和y=2x在第一象限内的图象如图3所示，点M在y=ax的图象上，MC±x轴于点C,交y=2x的图象于点A；MD±y轴于点D,交y=2x的图象于点B,当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①SA0DB=SA0CA；②四边形0AMB的面积不变；③当点A是MC的中点

4、时，则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是（）.A.OB.1C.2D.3解析当点M在疔ax的图象上运动时，结论①不容置疑•对于②，运用上面的规律，四边形0AMB的面积=SAOAM+SAOBM=a-22+a-22=a-2.是个定值.至于③，当点A是MC的中点时SA0AM=SA0AC,又因为SA0AM=SA0BM,SA0BD=SA0AC,所以SA0BD=SA0BM,所以点B是MD的中点.所以都是正确的！应选D.图4变式一如图4,x轴上方的直线l_Ly轴，且与反比例函数yl=klx及y2=k2x的图象分别交于点A、

5、B,连接0A、OB,x轴下方的直线mly轴,且与反比例函数yl=klx及y2=k2x的图象分别交于点C、D,连接0C、0D.其中kl>k2>0.直线1与x轴距离为a,直线m与x轴距离为b,已知AB=2,CD=3,则a:b=.本题要求a：b的值，应运用AOAB,AOCD这一对三角形面积相等，求得两个距离之比.因为SZXOAB二SZXOCD,所以2a2=3b2,所以2a=3b,a:b=3:2.由此可得到变式一蕴含的规律为：hl:h2=CD:AB.运用这个规律,我们能轻松的解决下面的逆向推断题：图5例2（2016山东

6、滨州17题）如图5,已知点A、C在反比例函数y=ax的图象上，点B,D在反比例函数y=bx的图象上，a>b>0,AB〃CD〃x轴，AB,CD在x轴的两侧,AB二34,CD=32,AB与CD间的距离为6,则a—b的值是.解析我们能快速求得AOAB或AOCD的面积，运用变式一规律hl:h2=CD:AB.hl:h2=32：34=4:2,又因为AB与CD间的距离为6,则hl=4,h2=2,SA0AB=SA0CD=34X4=3.运用变式一规律SZOAB=a-b2,所以a~b2=3,所以a~b的值是6.图6前面所述是对两

7、个反比例函数图象位于同一个象限里且比例系数皆为正数的情形，如果比例系数皆为负数（如图6）,搭桥三角形的面积还是定值，这个面积定值为kl-k22,其中kl>k2.限于篇幅对此先不做例析.如果两个函数的比例系数符号相反，函数图象位于不同的象限时，这个同样的画法得到的搭桥三角形，面积还会是定值吗？承上启下，我们把下面所研究问题叫做变式二.变式二如图7,A、B两点在反比例函数y=klx的图象上，C、D两点在反比例函数y=k2x的图象上，AC_Lx轴于点E,BD_Lx轴于点F,己知△OBD的面积为5,则AOAC的面积为，

8、k2-kl=图7本题是比较容易得出结论的：因为SAOAE=SAOBF=kl2,SAOCE=SAODF=k22,所以易证SAOAC=SAOBD=kl+k22=k2-k12,所以△（）△（：的面积为5,k2-kl=10.变式二蕴含着一个规律：用平行或垂直于坐标轴的任意一条直线去截比例系数异号的两个反比例函数（图象），所得到的以坐标原点和两个交点为顶点的三角形面积是个定值，且这个定值为kl+