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1、专题四数列第一讲等差、等比数列的概念与性质一、主干知识1.等差数列的定义：{an}为等差数列⇔________(n∈N*，d为常数).2.等比数列的定义：{an}为等比数列⇔_________(其中n∈N*,an≠0,q为不为零的常数).an+1-an=d3.等差、等比中项：(1)若x,A,y成等差数列⇔A为x，y的等差中项⇔2A=____.(2)若x,G,y成等比数列⇔G为x,y的等比中项⇒G2=___.4.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式：an=x+yxySn-Sn-1二、必记公式等差数列等比数列通项公式an=_________=am+_______
2、(n,m∈N*)an=_____=am·____(n,m∈N*)前n项和公式Sn=__________=_____________Sn=a1+(n-1)d(n-m)da1qn-1qn-m1.(2013·新课标全国卷Ⅱ改编)等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=________.【解析】由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1=答案：2.(2013·安徽高考改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3,a7=
3、－2，则a9=________.【解析】由S8=4a3⇒8a1+d=4×(a1+2d);由a7=-2⇒a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.答案：-63.(2013·江西高考改编)等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于_________.【解析】因为等比数列的前三项为x，3x+3，6x+6，所以(3x+3)2=x(6x+6)，即x2+4x+3=0，解得x=-1或x=-3.当x=-1时，3x+3=0不合题意，舍去.故x=-3.此时等比数列的前三项为-3，-6，-12.所以等比数列的首项为-3，公比为2，所以等比
4、数列的第四项为-3×24-1=-24.答案：-244.(2013·南通模拟)各项均为正数的等比数列{an}中，a2-a1=1,当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an=_______.【解析】设公比为q,依题意a1q-a1=1,a1=(q≠1),a3=a1q2=(当且仅当q=2时取等号)，a1=1,所以an=2n-1.答案：2n-15.(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=_______；前n项和Sn=_______.【解析】所以a2+a4=2a1+8a1=20,所以a1=2，答案：22n+1－26.等比数列{
5、an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.【解析】由S3=-3S2可得a1+a2+a3=-3(a1+a2),即a1(1+q+q2)=-3a1(1+q)化简整理得q2+4q+4=0,解得q=-2.答案：-2热点考向1等差(比)数列的基本运算【典例1】(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=_______.(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{an}满足：
6、a2-a3
7、=10,a1a2a3=125．①求数列{an}的通项公式;②是否存在正整数m,使得若存在,求m的最小值;
8、若不存在,说明理由．【解题探究】(1)an与Sn的关系是什么?提示：an=Sn-Sn-1(n≥2)．(2)①怎样求等比数列{an}的首项a1和公比q?提示：把已知条件用a1,q表示出来,解方程(组)即可．②求的关键点．(ⅰ)如何判断数列{}的类型?提示：可根据an先求出再判断数列类型．(ⅱ)怎样确定与1的关系?提示：根据的表达式判断．【解析】(1)由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列{an}为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为Sm==0，所以m(a1+2)=0，因为m≠0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2
9、，解得m=5．答案：5(2)①设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得解得或故an=·3n-1，或an=-5·(-1)n-1．②若an=·3n-1，则故是首项为公比为的等比数列，从而若an=(－5)·(－1)n－1，则故是首项为公比为－1的等比数列，从而故综上，对任何正整数m，总有故不存在正整数m，使得≥1成立．【方法总结】等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量.在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本量.(2)解题思路.①求公差d(公比q):常用公式an=am+(n－m)d(an=amqn－m);②列方程组:若条件与结论的联系不明显时,
