偏微(05)一阶双曲型方程ppt课件.ppt

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1、1一阶线性常系数双曲线方程(1.1)附以初始条件初值问题(1.1)、(1.2)式的解沿方程(1.1)的特征线第3章双曲线方程的差分形式是常数，并可表示为1.1迎风格式用Fourier方法讨论了差分格式（1.4）的稳定性差分格式（1.4）是稳定的；差分格式（1.5）是稳定的1一阶线性常系数双曲线方程对于（1.6）式，容易求出其增长因子为1.1迎风格式1.1迎风格式求出其增长因子为取(1.6)是绝对不稳定的,同理(1.7)绝对不稳定由于a>0,所以有1.1迎风格式如果差分格式（所用的网格点）与微分方程的特征线走向一致则网格比满足一定条件下是稳定的，否则，差分格式不稳定

2、条件稳定绝对不稳定1.2Lax-Friedrichs格式截断误差为逼近对流方程（1.1）的一个中心差分格式是绝对不稳定的Lax-Friedrichs格式19541一阶线性常系数双曲线方程Lax-Friedrichs格式误差为(1.9)的精度为一阶精度1.2Lax-Friedrichs格式双曲型方程中令代入（1.9）式有1.2Lax-Friedrichs格式增长因子为增长因子为当1.2Lax-Friedrichs格式稳定性条件为(1.10)时有Lax-Friedrichs格式可以不考虑对应的微分方程特征线的走向，迎风格式需要考虑特征线的走向1.2Lax-Friedr

3、ichs格式Lax-F迎风共同点：一阶精度，条件稳定：就可以不考虑微分方程特征线的走向而直接应用1.2Lax-Friedrichs格式把迎风格式写成统一的形式（1.11）(1.11)设a>0,此时迎风格式可以写为1.2Lax-Friedrichs格式Lax-F迎风迎风Lax-F设a>01.2Lax-Friedrichs格式迎风Lax-F(1.12)(1.13)左边相同，截断误差的比较取决于右侧由稳定性的限制就要求有如果则(1.12)和(1.13)相同如果则Lax-F的截断误差大于迎风格式1.3Lax-Wendroff格式Lax－Wen提出二阶精度的二层格式。除了T

4、aylor级数展开之外，还用到微分方程本身。将在点处做Taylor展开1一阶线性常系数双曲线方程设u(x,t)是微分方程（1.1）的光滑解，利用微分方程（1.1）有1.3Lax-Wendroff格式将在点处做Taylor展开带入(＊)式有(＊)采用中心差商逼近上式中的导数项，有略去高阶项，可以得到如下的差分格式（1.14）是二阶精度的差分格式，Lax-Wen1.3Lax-Wendroff格式1.3Lax-Wendroff格式增长因子为如果满足条件则有稳定的充分条件1.4Courant-Friedrichs-Lewy条件上的值仅依赖于微分方程（1.1）的初值（1.2

5、）上的值1.4Courant-Friedrichs-Lewy条件在区间上的网格点令微分方程（1.1）中的常数a>01.4Courant-Friedrichs-Lewy条件仅依赖于微分方程（1.1）的初值（1.2）上的值为差分格式的解在点的依赖区域。称区间上所有网格点组成的集合与x轴的交点为D,过点P，微分方程（1.1）的特征线1.4Courant-Friedrichs-Lewy条件为差分格式的解在点的依赖区域。称区间上所有网格点D是其解在P点的依赖区域。差分解收敛到微分解的必要条件是：Courant-Friedrichs-Lewy条件差分格式的解依赖区间包含偏微分

6、方程初值问题解的依赖区域。1.4Courant-Friedrichs-Lewy条件的（1.1）的特征线过点与x轴的交点D的横坐标为因此C．F．L条件可以表示为不等式等价于CFL是差分格式收敛的必要条件1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式利用双曲方程的解在特征线上为常数,来构造（1.2）的各种差分格式假设C．F．L条件成立,过点P的特征线与BC交于Q由微分方程解的性质知1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式Q不是网格点时u（Q）未知1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式迎风格式B、C两点线性插值1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式

7、B、D两点线性插值Lax－F格式1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式B、C、D三点抛物插值Lax-Wendroff格式用A,B,C三点来进行抛物插值Beam-Warming格式（1976），这是二阶迎风格式1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式Beam-Warming格式（1976），这是二阶迎风格式1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式增长因子增长因子1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式当时有此时1.16稳定对于固定的空间步长，时间限制较宽，有利于实际计算1.6蛙跳格式逼近对流方程

8、（1.1）