矩阵的乘法运算.doc

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1、第三讲：矩阵的乘法运算及逆运算荣蓉写纸质版稿件管宇收集材料，补充纸质版，写电子版稿件李润泽整理材料洪学敏核对一、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是矩阵的一种重要运算，这种运算的定义是从大量的实际模型中抽象出来的。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵执有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。一个m×n的矩阵a（m,n)左乘一个n×p的矩阵b（n,p)，会得到一个m×p的矩阵c（m,p)，满足矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律ABE→E则A*E=B求证既求×==B例×=×××=A行B列则C行列A=B它的行与第一行的矩阵相同，

2、列与第二个矩阵的列相同二、矩阵的逆逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。=解1：=！解1：=解方程：a+3b=12a+7b=0c+3d=02c+7d=1写出增广矩阵→→a,b,c,d得=解2（A，b，b）==A=（A，E）行变换（E，A）问：什么样的A可逆1矩阵不可逆2必须为方阵形矩阵3A为降秩不可逆注：秩是阶梯型矩阵中的非零行行数A为满秩则为秩二阶例A→所以R（A）＝1≠2A不可逆A→三阶非零行R（A）=3所以A可逆一个矩阵如果可逆一定可以化

3、为与它同阶的单位矩阵A～EAA～E(A相当于E)三、逆矩阵的求法:　　A^(-1)=(1/

4、A

5、)×A*，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中

6、A

7、为矩阵A的行列式A*为矩阵A的伴随矩阵。　　逆矩阵的另外一种常用的求法：　　(A

8、E)经过初等变换得到(E

9、A^(-1))。　　注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。　　一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断逆矩阵：　　1、秩等于行数　　2、行列式不为0　　3、行向量(或列向量)是线性无关组　　4、存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵　　5、作为线性方程组的系

10、数有唯一解　　6、满秩　　7、可以经过初等行变换化为单位矩阵　　8、伴随矩阵可逆　　9、可以表示成初等矩阵的乘积　　10、它的转置可逆　　11、它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变