矩阵的乘法运算规则

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1、矩阵的乘法西北师范大学数学与信息科学学院课件导航新课讲授结束作业小结《高等代数》面向21世纪新教材矩阵乘法的定义矩阵乘法的应用《高等代数》面向21世纪新教材矩阵乘法的性质先从一个例子开始:第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克).第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个计算过程可以用如下的矩阵

2、形式来表示：第一周：12×3+11×4+6×2=92（元）第二周：11×3+11×4+7×2=91（元）第三周：11×3+10×4+7×2=87（元）定义设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这个矩阵的第i行第j列位置上的元素cij等于A的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和.即运算过程演示演示返回由矩阵的定义可以看出:两个矩阵的乘积AB亦是矩阵,AB的行数等于矩阵A的行数,AB的列数等于矩阵B的列数.前行乘后列:乘积矩阵AB中第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和

3、,简称行乘列的法则。1.2.想一想:两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？矩阵要满足什么条件才能相乘呢？矩阵的乘法是否满足交换律呢?1.2.3.矩阵的乘法适合消去律吗?4.返回矩阵乘法的性质:结合律(AB)C=A(BC),其中A=[aij]m×n,B=[bij]n×p,C=[cij]p×q.2.数乘结合律k(AB)=(kA)B=A(kB),其中k为任意实数.A=[aij]m×s，B=[bij]s×n.3.分配律(A+B)C=AC+BC,其中A,B都为m×n矩阵,C=[cij]n×s.C(A+B)=CA+CB,其中C为m×n矩阵,A,B都为n×s矩阵.返回

4、任意给定r个矩阵A1,A2,···,Ar,只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数,就可以把它们依次相乘,由于矩阵的乘法满足结合律,在作这样的乘积时,可以把因子任意结合,而乘积A1A2···Ar有完全确定的意义.我们再约定A0=In.这样,一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义(以后要定义某些特殊方阵的负整数次方,将会看到,并不是每个方阵都有负整数次方).多个矩阵的乘积Ar=AA···A.r个A特别地,一个n阶方阵A的r次方(r是正整数)有意义.例7设A是n阶数量矩阵.即B=(bij)是n×p矩阵,计算AB.因此有AB=kB.即用数量矩阵A乘以矩阵B时

5、,相当于用数k乘矩阵B.如果C是m×n矩阵,那么类似地容易验证CA=kC.即C乘以数量矩阵A时,相当于用数k乘矩阵C.这就是数量矩阵有时也叫做数乘矩阵的原因.特别地,在n阶数量矩阵中,当k=1时,A就变成为称In为n阶单位矩阵,这时,有InB=B,CIn=C.因此,n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用,这就是为什么把In称为单位矩阵的原因.我们以后还会发现In的更多的类似于数1的性质.例8考虑一般形式的线性方程组其系数矩阵和增广矩阵分别是则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定.反过来,线性方程组也唯一地确定它的增

6、广矩阵,我们令称此式为线性方程组的矩阵形式.因此原线性方程组可写为AX=B.计算矩阵乘积AX计算A1X:在上题中,令:同样计算A2X,···,AnX可得……,所以A=A1+A2+···+AnAX=(A1+A2+···+An)X=A1X+A2X+···+AnX.因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式这个形式叫做线性方程组的向量形式.……,系数矩阵把n元线性方程组所有未知量的系数按原来的顺序排列,得到一个m×n矩阵.我们称A为线性方程组的系数矩阵.返回增广矩阵把常数项添到系数矩阵A的最后一项,则可得到一个m行n+1列的矩阵.为线性方程组的增广矩阵.我们称

7、返回例8(计算机机时汇总):一台智星计算机,完成某个项目,该项目有6项类型1的工作,8项类型2的工作,10项类型3的工作,问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间?类型1的问题需用3分钟!需用4分钟!类型2的问题类型3的问题需用2分钟!则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为:表示各种类型工作的个数矩阵可令为:那么所需时间的总数可如下计算:这里(70)是一个1×1矩阵(可以把(70)和70看成是一样的),即所需总时数为70分钟.假设不仅有一台计算机,而是有4台计算机:智星,神童,奔腾及银河,那么我们有一个不同的计算机完成不同类型工作的机时矩阵:智星完成

8、类型1、2、3的工作所需的时间:银河完成类型1、2、3的工作所需的时间:神童完成类型1、2、3的工作所需的时