第 09 讲 寻找解题途径(第09课时-恒等变形-等式).doc

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1、（第9课时）第9讲寻找解题途径-恒等变形-等式应知：恒等变形是转化思想中的一种。应会：④等式的变形。4．等式的变形在等式两边同加减、同乘除、同乘方开方、同取对数、同取三角函数、换元等等，使题设达到预定的目标。例.（初二）解方程组。提示：方程⑵的两边都减去1，再把其左边因式分解得，然后使用换元法。(结果为)例.（初二）若，且，求证：。证明：∵，，两式相减得，即∵，∴，即，∵⑴∴⑵联立⑴⑵解得，代入得，点评：此题只要对比结论和题设，即可知道应设法从题设中消去x和y。例.（初三）若，求的值。提示：原方程两边同时除以

2、x得，这就是含有的方程了，再因式分解即可。（结果为=-1或=-2）例.（高二）已知，求。提示：原等式两边同乘x得到新等式，把原等式和新等式两边相减，就可以使用等比数列的求和公式了。[结果为]例.（高一）已知，求证：。提示：由已知，，两边分别取对数，x、y、z就不在指数位置上了。例.（高一）已知，若，求当时的函数的解析式。分析：这个题目是已知一个函数的表达式及其与另一个函数的关系，求另一个函数的表达式。首先，已知函数的表达式中含有绝对值符号，这是一个拦路虎，能否去掉它？要去掉它就需要知道和的正负，而x的取值范围

3、已知，看来大有希望。解：∵，∴，，∴，，∴，∴=2。例.（高一）求证：。分析：要证，只要证，只要证，只要证，而上式左边易见正好为。点评：本题是把对数式换成了指数式。例.（初三）解方程⑴。分析：基本思想是去根号，在变换原方程的过程中，有时会出现原方程的某一部分，此时就应该用原方程的另一部分来代替它（称为“整体代入”），如果代替后能使方程变得更简单一些的话。为去根号，把原方程两边立方得⑵要想法从⑵式中变出⑴式的左边就最好。注意到⑵式左边的第二项和第三项有公因式可提，提出后将出现和⑴式的左边相同的式子。⑶把⑴式代入

4、⑶式即可解出。点评：本题在方程变形过程中，用方程的一边代替另一边使方程简化。例.（初二）计算。解：设原式，两边立方得：即，即，解得唯一实数根为，∴。点评：本题把原式看成一个整体，使运算简单。例.（高三）求和。解：令，∵…………把上述各式两边分别相加得∴，即。点评：本题利用了换元。习题：1．（初三）若，求证：。2．（初二）计算⑴⑵。3．（高三）设是一个等差数列，试求。参考答案：1．（初三）若，求证：。证明：∵，两边立方得，把上式中的用代之得，∴。点评：本题在等式变形过程中，利用整体代入的方法使方程简化。2．（初

5、二）计算⑴⑵。解：⑴设，两边平方得，即，把代入上式得，解之得，（舍去），∴原式=2，⑵设，两边平方得，即，把代入上式得，解之得，（舍去），∴原式=2。点评：本题在等式变形过程中，利用整体代入的方法使根式简化。3．（高三）设是一个等差数列，试求。解：∵等差数列中有，其中为公差。故所求的和为==。点评：①本题利用了换元。②注意，本题的最后结果中不能含有自己增设的字母。