线代期末考试题.doc

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1、河北大学课程考核试卷A一、选择题：（共20分，每小题2分）(一)、设为3阶方阵，且行列式，则（）A．B．C．8D．（二）、已知均为阶矩阵，且，下列结论必然成立的是（）A.B.C.D.（三）、为矩阵，，下列结论正确的是（）A.齐次线性方程组只有零解B.非齐次线性方程组有无穷多解C.A中任一个阶子式均不等于零D.A中任意个列向量必线性无关。（四）、设4阶方阵A的行列式＝0，则A中（）A．必有一列元素为零　B．必有一列向量是其余向量的线性组合C．必有两列元素对应成比例D．任一列向量是其余列向量的线性组合（五）、已知都是可逆的对称矩阵，则不一定对

2、称的矩阵是（）....（六）、若向量组线性无关；线性相关，则（）A.必可由线性表示B.必不可由线性表示C.必可由线性表示D.必不可由线性表示（七）、设都是非齐次线性方程组的解向量,若是导出组的解，则k=().0.1.2.3（八）、设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，则向量组()也是的一个基础解系。A.B.C.D.（九）、设是矩阵，是n阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则()A.B.C.D.与的关系由而定(十)、是正定矩阵的充要条件是（）A.B.负惯性指数为零C.存在n阶矩阵C，使D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题：（共20分，每小

3、题2分）（一）、已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，其中，则对应齐次线性方程组的通解为_______。（二）、设向量组线性无关，则常数满足_____时，向量组线性无关。（三）、设为阶方阵，为阶方阵，已知，则行列式。（四）、已知A为3阶方阵，A的两个特征值为3，6，并且A的迹为5，则。（五）、有唯一解的充要条件是。（六）、设，则向量与的内积为。（七）、当满足时，二次型是正定的。（八）、已知三维向量空间的基底为，则向量在此基底下的坐标是。（九）、设矩阵其中均为四维列向量，已知行列式，则行列式。（十）、已知向量组的秩为2，则t=。

4、三、计算题：（共45分）（一）、计算n阶行列式。（7分）（二）、已知其中求矩阵。（8分）（三）、当为何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并求出其通解。（10分）（四）、求向量组的秩及其极大无关组。（10分）（五）、设实对称矩阵求正交矩阵，使为对角矩阵。（10分）五、证明题：（共15分）（一）、设为矩阵，证明:若任一个维向量都是的解，则。（8分）（二）、已知A，B均为n阶方阵，并且，试证可逆，并求其逆矩阵。（7分）河北大学课程考核参考答案及评分标准A一、选择题（共20分，每小题2分）考察基础概念和理论(一)–(五)、CCBBA（六）-

5、(十)、CCDCD二、填空题：（共20分，每小题2分）考察基础概念和理论(一)、(为任意常数)，(二)、，（三）、，（四）、，（五）、的列数，（六）、，（七）、，（八）、，（九）、，（十）、。三、计算题：（共45分）(一)、考察行列式的计算解：…………3分…………7分(二)、考察利用初等变换的方法解矩阵方程解：由由矩阵可逆，得………2分故利用初等行变换，将………………………4分所以。………………………6分所以。………………………8分（三）、考察非线性方程组有解的条件及用初等变换求方程组的解，在有无穷多解的情况下能求其通解解：…………………

6、……2分（1）当时，方程组有唯一解。………………………4分（2）当且时，方程组无解。………………………6分（3）当且时，方程组有无穷多解。………………………8分此时取为自由未知量，令，得方程组的一个特解为。令或，得其对应导出组的基础解系为故，非齐次线性方程组的通解为，其中为任意常数。………10分（四）、考察用初等变换的方法求向量组的极大无关组及秩解：以为列向量构造矩阵………2分利用初等行变换把化为行简化阶梯形矩阵，即………………………4分所以，（1）当时，向量组的秩为2，极大无关组为，……………………7分（2）当时，向量组的秩为3，极大无

7、关组为。………………10分（五）、考察矩阵的特征值及特征向量的求解，矩阵的对角化，施密特正交化方法解：矩阵的特征方程为。………2分解得。………………………4分对由，解得基础解系。……………6分对由，解得基础解系………………8分由于正好正交，所以两两正交。再将单位化，得。故所求得正交矩阵且。………10分五、证明题：（共15分）（一）、考察线性方程组的解的知识，及向量组等价的知识证明：由已知，任一维向量都是的解，可知也是齐次线性方程组的解…2分又因为线性无关，并且任一个维向量都可以由线性表示……4分从而为的基础解系，由，知，进一步得到……8分

8、（二）、证：由得，即……2分推出即……5分得，所以B+E可逆，且其逆矩阵为……7分