立体几何基础题题库(七)(有详细答案).doc

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1、立体几何基础题题库（七）（有详细答案）301.给出下列命题，错误的命题是（　）．　　A．若直线a平面α，且α∥平面β，则直线a与平面β的距离等于平面α、β间的距离　　B．若平面α∥平面β，点A∈α，则点A到平面b的距离等于平面α、β间的距离　　C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离　　D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离解析：C．以下按顺序说明，对A中，在a上任取一点P，作PH⊥β，PH为直线a与平面β

2、的距离．∵　α∥β，PH⊥α，∴　PH又为α、β间的距离．对于B，作AH⊥β，AH的长为点A到b的距离．又∵　α∥β，∴　AH⊥α，于是AH的长是α、β两个平行平面间的距离．　　对于C，设a∥b，aα，bβ，过a上任一点P作PQ⊥b于Q，则PQ的长为a、b两平行直线间的距离．因为PQ与α、β不一定垂直，所以PQ的长一般不是α、β间的距离，一般地说，a、b间的距离不小于α、β间的距离．　　对于D．设是异面直线a、b的公垂线段，A∈a，，aα，bβ，过A和b的平面与α相交于，则，于是．∴　．同理．故

3、的长又是α、β两个平面间的距离（如图答9-30）．302.设α、β是两个平面，l和m是两条直线，那么α∥β的一个充分条件是（　）．　　A．lα，mα，且l∥β，m∥β　　　B．lα，mβ，且l∥m　　C．l⊥α，m⊥β，且l∥m　　　　　　　D．l∥α，m∥β，且l∥m解析：C．可参看图答9-31．-32-图答9-31303.平面α∥平面β，过平面α、β外一点P引直线PAB分别交α、β于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交α、β于C、D两点．已知BD=12，则AC的长等于（　）．　

4、　A．10　　　　　　　B．9　　　　　　　C．8　　　　　　　D．7解析：B．如图答9-32，平面PBD∩α=AC，平面PBD∩β=BD，∵α∥β，∴　AC∥BD．由平面几何知识知，．∵　PA=6，AB=2，BD=12，∴　，∴　AC=9．304.已知AC，BD是夹在两平行平面α、β间的线段，A∈α，B∈α，C∈β，D∈α，且AC=25cm，BD=30cm，AC、BD在平面b内的射影的和为25cm，则AC、BD在平面b内的射影长分别为________，AC与平面β所成的角的正切值为______

5、__，BD与平面b所成的角的正切值为________．解析：设α、β间的距离为h，AC在平面β内的射影，BD在平面β内的射影，根据已知条件可得②-①得，即，把③代入得y-x=11，∴　解得即，．又h=24cm，AC与平面b所成的角为，-32-，同理305.已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有________个．解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个

6、点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等．306.如图9-35，平面α∥平面β，△ABC、△的分别在α、β内，线段、、相交于点O，O在α、β之间．若AB=2，AC=1，∠ABC=60°，OA∶=3∶2，则△的面积为________．解析：图9-35∵　，∴　、确定平面，平面∩a=AB，平面，∵　α∥β，∴　，同理，．由于方向相反，∴　△ABC与△的三内角相等，∴　△ABC∽△．且．　∵，∴　307.如图9-37，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于

7、A、E、B，及C、F、D，又AD、BC与平面β的交点为H、G．求证：EHFG为平行四边形．-32-解析：308.如图9-38，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β．解析：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，平面ABCD∩β=BD．∵　α∥β，∴　AC∥BD．∵　E、F分别为AB、CD的中点，∴　EF∥AC．∵　ACα，EFα，∴　EF∥α，同理EF∥β．当AB、CD异面时，∵　，∴　可在平面ECD内过点E作，与α，β分别交于，

8、．平面，平面，∵　α∥β，∴　．∵　E是AB中点，∴　E也是的中点．平面，平面，∵　α∥β，∴　，∵　E、F分别为、CD中点，∴　，．∵　α，EFα，∴　EF∥α，同理EF∥β．-32-309.已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F(1)求证：AF⊥SC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD解析：如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即A