立体几何基础题题库(二)(有详细答案)

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1、立体几何基础题题库（二）（有详细答案）51.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。　　求：AM与CN所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE　为AM与CN所成的角。　∵N为AD的中点,NE∥AM省　∴NE=AM且E为MD的中点。　设正四面体的棱长为1，　　则NC=·=且ME=MD=　　在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=+=∴cos∠CNE=,又∵∠CNE∈(0,)∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△C

2、EN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，。求异面直线AB与CD所成的角。解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG-30-在ΔBCD中，，故EG//CD，并且，所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且，故FG=3，

3、在ΔEFG中，利用余弦定理可得cos∠FGE=，故∠FGE=120°。另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。53.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cos∠OB==解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，

4、∠C1O1G即AC1与DB所成的角。解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得-30-cos∠EAC1==＜0所以∠EAC1为钝角．根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为54.已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，解析：设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为，则有。在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=，，求异面直线S

5、C与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，设异面直线SC与AB所成角为，则，由得∴，，∴，即异面直线SC与AB所成角为。55.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明。（略去了该题的2，3问）-30-解析：设在平面ABCD内射影为H，则CH为在平面ABCD内的射影，∴，∴，由题意，∴。又∵∴，从而CH为的平分线，又四边形ABCD是菱形，∴∴与BD所成角为，即56.在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的大小。解析：连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC，∴EF为AE在平面B

6、FC内的射影，设AE与CF所成角为，∴，设正四面体的棱长为，则，显然EF⊥BC，∴，∴，，∴，即AE∴与CF所成角为。-30-57.三棱柱，平面⊥平面OAB，，且，求异面直线与所成角的大小，（略去了该题的1问）解析：在平面内作于C，连，由平面平面AOB，知，AO⊥平面，∴，又，∴BC⊥平面，∴为在平面内的射影。设与所成角为，与所成角为，则，由题意易求得，∴，在矩形中易求得与所成角的余弦值：，∴，即与所成角为。58.已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与，所成的角均是的直线有且只有（）A、1条B、2条C、3条D、4条解析：过空间一点P作∥，∥，则由异面直线所

7、成角的定义知：与的交角为，过P与-30-，成等角的直线与，亦成等角，设，确定平面，，交角的平分线为，则过且与垂直的平面（设为）内的任一直线与，成等角（证明从略），由上述结论知：与，所成角大于或等于与，所成角，这样在内的两侧与，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且与垂直的平面，由上述结论知，内任一直线与，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P与，成的直线有且只有2条，故选（B）59.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：D60.l