2、）作MP〃AB交BC于点P,NQ〃AB交BE于点Q,连接PQ,依题意可得MP〃NQ,HMP=NQ,即MNQP是平行四边形。・・.MN=PQ,山已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=l,・AC=BF=迈CPaBQ厂VTiCP=BQMN=PQ=7(1-CP)2+B02当a=—时，MN血（2）山（1）知：22,即分别移动至l］AC,BF的中点时,MN的长最小，最小值为二2⑶取MN的中点G,连接AG、BG,VAM=AN,BM=BN,AAG丄MN,BG丄MN,・•・ZAGB即为二面角a的平面角。AG=BG=—又4,所以山余弦定理有5尙爭34oV6V62••44。故所求二面角a-arcc
3、os(-^)7T0(0v&<-)2。点M在AC上,253.如图，边长均为a的止方形ABCD、ABEF所在的平而所成的角为点N在BF上，若AM=FN,（1）求证:MN〃面BCE;⑵求证:MN丄AB;⑶求MN的最小值.解析：（1）如图，作MG//AB交BC于GNH//AB交BE于H,MP//BC交AB于P,连PN,GH,易证MG//NH,HMG=NH,故MGNH为平行四边形，所以MN//GH,故MN//而BCE;（2）易证AB丄血MNP,故MN丄AB;⑶/MPN即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角，即ZMPN=0,设AP=x,则BP=a-x,NP=a所以:MN=+(6Z_兀)
4、2_2x(a-x)cos0(2(1+cos&)(x一彳)2+£(1一COS0)Q?ax=—故当2时,J—(I-cos0)aMN有最小值V2253.如图，止方形ABCD、ABEF的边长都是l,i佃口平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC±移动，点N在BF±移动，若CM=x,BN=y,（°W<血人（1）求MN的长（用x,y表示）；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异而直线AC,BF之间的距离。X解析：在而ABCD中作MP丄AB于P,连PN,则MP丄而ABEF,月以MP丄PN,PB=1-AP=2在APBN（匸^兀）2+）：2+-V2aj?cos45°中，山余弦定理得：PN2=
5、2=-xy-4^x+（（）6、（O为AC与BD的交点）在矩形BDD1BI刖证AEDO与ABDQ都是直角三角形,山此易证EO丄DQ,故DQ丄面EAC得证；（2）若BP与面EAC平行，则可得BP//EO,在三角形BPD中，O是BD屮点，则E也应是PD中点，但丄1丄血PD=2DDl=a,jfuED=DO=2BD=2a,故E不是PD中点，因此BP与而EAC不平行；（3）易知，BP丄AC,要使AM丄BP,则M—定在与BP垂直的平面上，取BB1中点N,易证BP丄面NAC,故M应在线段NC上。256.如图，己知平行六而体ABCD-B,C}Dx的底而ABCD是菱形，ZC'Cfi=ZC】CD=ZBCD=60°,（1）证明：
7、GC丄3D；CCi=2（II）假卫CD=2,*2,记面CXBD为匕，面CBD为卩，求二面角a-BD-p的平而角的余弦值;CD（in）当CG的值为多少时，能使A67丄m/Q?请给出证明.解析：（I）证明：连结AG、AC,AC和BD交于.，连结G°,•・•四边形ABCD是菱形，・・.AC丄BD,BC=CD,・••ZBCC}=ZDCC],可证C}BC=AC】DC:.C}B=C}D故G。丄BD,但ac±BD,所以丄®ACi,^
8、fuCC«±BD；（II）M：山（I）知AC丄BD,丄ZCQC是二而角
