叶宏概率统计ppt课件.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.例如考察某型号电视机的质量：平均寿命18000小时±200小时.考察一射手的水平:既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和

2、实践上都具有重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写§4.1随机变量的数学期望例用分布列表示设X为离散r.v.其分布列为若无穷级数其和为X的数学期望，记作E(X),即1.数学期望的定义绝对收敛,则称定义1设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即定义2前例例X~B(n,p),求E(X).解特例若X~B(1,p),则E(X)例X~P(λ),求E(X).例X~E(λ),求E(

3、X).例X~N(,2),求E(X).解常见分布的数学期望分布期望概率分布0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；(2)分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验

4、结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择应用解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.设每人需化验的次数为X，则XP例如:当时,选择方案(2)较经济.§4.1数学期望2.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是:因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X

5、)的分布，一般是比较复杂的.是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.设离散r.v.X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则(1)Y=g(X)的数学期望设连续r.v.X的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分设离散r.v.(X,Y)的概率分布为绝对收敛,则若级数(2)Z=g(X,Y)的数学期望设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)绝对收敛,则若广义积分例

6、设随机变量X的分布律为求例设随机变量X的概率密度为求Y=e－2X的数学期望.YX1210.250.3220.080.35例设随机变量(X,Y)的分布律为求解例设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域.求EX，E(-3X+2Y)，EXY.市场上对某种产品每年需求量为X台，X~U[200,400],每出售一台可赚300元,售不出去，则每台需保管费100元，问应该组织多少货源,才能使平均利润最大？解设组织n台货源,利润为Y显然，200

7、C是常数，则E(C)=C;(4)设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).(2)若C是常数，则E(CX)=CE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立（诸Xi独立时）例求二项分布的数学期望若X表示n重贝努里试验中的“成功”次数X~B(n,p)，设则X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，n可见服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.=np因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=E(Xi)==p例设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y

8、),E(X+Y),E(XY).解由数学期望性质X,Y独立例