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1、三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教师…………………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………2007—2008学年第二学期《复变函数》课程考试试卷A注意：1、本试卷共3页；2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：题号一二三总分得分阅卷人得分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1．＝2．＝3．若函数在复平面内处处解析，则=____4．幂级数的收敛半径为______5．复变函数积分＝阅卷人得分二、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把
2、所选项前的字母填在题后的括号内.）1．点为函数的[ ]（A）可去奇点（B）本性奇点（C）一级极点（D）二级极点2．下列命题正确的是[ ](A)如果在连续，那么存在；(B)如果存在，那么在解析；.(C)如果是的奇点，那么在不可导；(D)如果在区域D内解析且实部为常数，那么在D内是常数.3．关于函数的性质下列说法错误的是[ ]（A）在整个复平面上都是连续的（B）仅仅在原点可导（C）在原点解析（D）在整个复平面上都不解析4．下列说法正确的是[ ](A)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；(B)每一个幂级数的和函数在收敛圆内解析；(C)幂级数在收敛且在
3、发散；(D)在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数.5．设，则＝[ ]（A）0（B）（C）（D）6．级数是 [ ](A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)无法判断阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教师…………………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………三、试解下列各题（本题满分67分.）1．（本小题20分）计算下列积分:(1)其中，为正向圆周：(2)，其中为正向圆周：(3)，(4)2．（本小题12分）证明：为调和函数，并求其共轭调和函数和由它们组成的解析函数，使.3．（本小题8分）将函数在内展成
4、级数.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教师…………………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………4．（本小题15分）计算下列函数在有限奇点处的留数：（1）（2）（3）5．（本小题12分）判定下列函数在何处可导，在何处解析？（1）（2）（3）2007—2008学年第二学期《复变函数》课程考试试卷A参考答案一、填空题(每小题3分)1．2．3．4．5．0二、选择题(每小题3分)1．C2．D3．B4．B5．A6．B三、试解下列各题1．（本小题20分）计算下列积分:(1)其中，为正向圆周：解:当时，由Cauchy积分定理得，原式＝0……
5、……2分当时，由Cauchy积分公式得，原式＝…………5分(2)，其中为正向圆周：解:方法一:由Cauchy积分公式得，原式＝………………………………5分方法二:(3)，解:分别作两个互不相交互不包含的正向小圆周,使只包含奇点0,只包含奇点1,则…………5分(4)解:函数在复平面内解析,积分与路径无关,故…………………5分2．（本小题12分）证明：为调和函数，并求其共轭调和函数和由它们组成的解析函数，使.解：（1）因为所以，即是调和函数。……………………4分（2）由，得从而又由，得从而，因此…………8分由上所求，可得一个解析函数：………9分这个函数可以化为：，由，得所以
6、所求的解析函数为：…………………12分3．（本小题8分）将函数在内展成级数.解:在内：……………8分4．（本小题15分）计算下列函数在有限奇点处的留数：（1）（2）（3）解:(1)显然有一个一级极点和一个一级极点，…………1分………………3分……………………5分(2)将在的去心邻域内展开成洛朗级数……3分…………………5分(3)显然有一级极点……………2分…………………5分5．（本小题12分）判定下列函数在何处可导，在何处解析？（1）（2）（3）解:(1)因为,可知C.R.方程不满足,所以在复平面内处处不可导,处处不解析.………4分(2)因为,,显然这四个一阶偏导数都是
7、连续的,但是仅当时,它们才满足C.R.方程,所以函数仅在处可导,在复平面内处处不解析.…………………4分(3)因为,,从而并且由于上面四个一阶偏导数都是连续的,所以在复平面内处处可导,处处解析.…………………4分
