弹塑性力学-第3章 应变状态讲解学习.doc

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1、第三章应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单

2、纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。3.1位移与线元长度、方向的变化1.1坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descartercoordinate)系的轴()上的投影为()，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(、)，这些位移分量可看作是坐标()的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即(3.1-1)上式中函数、以及它们对坐标()的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)确定了变量()与之间的关系。因为物体

3、中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。如果在(3.1-1)中，假设，则由(3.1-1)式可得如下三个方程(3.1-2)式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点，在物体变形前为平行于轴的直线()上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标()末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。由以上可见，描

4、述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler法。Lagrange描述法是用变形前的坐标()做自变量，而Euler法则是用变形后的坐标做自变量。在固体力学中，通常物体的初始形状、固定情况以及载荷是一定的，需要确定的是物体各点的位移、和应力。对于小变形一般采用Lagrange坐标法；而对于大变形有时用Euler法。在数值计算中，通常采用矢量来表示，因为要计算变形前后两次应变的变化，所以用Euler法比较方便。在以后的讨论中，我们采用Lagrange坐标法。图3.1变形表示法1.2变形体的应变设物体中变形前相距十分近的两点

5、，变形后移位至。变形前的坐标分别为，，变形后的坐标分别。那么，矢量所表示的线元在物体变形后由矢量表示线元。那么，和的平方为(a)(b)根据(3.1-1)式，点在方向有(c)此处是因两点所产生的增量，将其在()处展开为Taylor级数，即(d)略去(d)式中的高阶微量(，…，并将(d)式代入(c)式，则可得由(3.1-1)式知，,所以(3.1-3a)同理可得(3.1-3b)(3.1-3)式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算与之差，于是由(a)式和(e)式可得(f)式中(3.1-4)式(3.1-4)实际

6、上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移，则可由该式求得各点的应变分量，式(3.1-4)可采用张量表示为(3.1-5)1.3线元的长度变化引入符号(3.1-6)是点和N间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比．我们把这个量称作点在点N方向的相对伸长度。根据式(a)和式(f)，并注意(3.1-2)式，则可得伸长度的表达式为=(3.1-7)式中，，是矢量的方向余弦。如果在(g)式中令，那么有(3.1-8a)此处表示点在x方向的相对伸长度。类似有点在y、z方向的相对伸长度为(3.1-8b)因此，应变分量、、

7、描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。1.4线元方向的变化变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。矢量与坐标轴(X，Y，Z)形成的方向余弦分别为、、；而矢量与坐标轴夹角的方向余弦分别为(3.1-9)利用(3.1-6)式解得=，并注意到(3.1-3)式可得(3.1-10)式(3.1-10)表示任意线元在变形后的方向，即变形后的方向余弦可以用变形前的方向余弦表示。如果变形前线元与X轴平行，则该线元的方向余弦为，，那么由(3.1-10)式知，该线元变形后的方向余弦为(3.1-11)此处是变形前与X轴平

8、行线元的伸长度。由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移、不相同，因此方向要改变(图3.2)；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。因为线元在变形后成为已变形物体上坐