弹塑性力学-第3章(应变分析)

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1、弹塑性力学许强同济大学土木工程学院第3章应变分析本章教学内容§3.1引言§3.2一点的应变状态§3.3应变张量的进一步解释§3.4微元体的刚体转动§3.5主应变§3.6八面体应变§3.7体积应变§3.8微小球体的变形§3.9应变协调方程§3.10球应变张量和偏应变张量§3.11应力应变分析的相似性与差异性第3章应变分析教学要求（1）深入理解位移、应变和应变状态的概念。（2）掌握柯西几何方程的应用和其物理意义。（3）理解应变谐调方程（相容方程）的物理意义。（4）了解应变状态和应力状态，及其两者在数学上的相似性与差异性

2、。第3章应变分析3.1引言本章将纯粹从几何学的角度来分析物体的位移和变形，而不具体讨论引起物体产生位移和变形的原因。内容有：讨论如何刻画受力物体内任一点处的变形状态，并用应变张量来描述物体的形变；分析微元体的刚体转动；讨论应变分量必须满足的“协调条件”。本章是在小变形假设下进行推理，故所得结论仅适合于小变形连续介质力学问题。连续体内任意两点的相对位置改变时，此物体被称为有变形或有应变。如果物体运动时，其体内任意两点之间距离不变，则物体作刚体运动。刚体运动包括平移和转动，因此平移和转动被称为刚体位移。应变分析涉及连续

3、体变形的研究，这是几何问题而其与物体材料性质无关。因而不论是弹性或是塑性变形的物体，对点的应变的描述都是同样的。考虑连续体内的两点A和B，两点间距为l。使物体承受某些力而使之占据新的变形位置（右图中虚0线所示），AB移动至A′B′。A点移动的距离AA′称为A的位移。如果A′B′与AB平行且相等，则此移动属平移；如果A′B′与AB不平行，则此移动兼有转动和平移。如果间距l和l不等，则B与A之间有相对位移，即物体已有变0形。若l取得足够小，则变形可认为沿AB方向是均匀的，相0对位移（l-l）可认为与l成正比。长度变化对

4、原长度之比定00义为正应变或线应变，即ABl的线应变()l/l(3.1)00第3章应变分析然而，应变存有两种类型：由于长度变化产生的正应变和与不同于任何材料纤维的伸长或缩短的畸变相关的剪应变。如右图示，在物体的原始位置上，通过A点画两条成夹角θ的0直线AB和AC。物体承受作用力以后，如θ与θ不等，则可谓0剪应变已经产生，角度变化（θ－θ）即为畸变或剪应变的度0量。正如应力分析的那样，在此，如果所考虑邻近A点的材料足够小，那么围绕A点的变形可取为均匀分布，这就引出了点应变的概念。zA'u点的位移：Aru(x、y、

5、z)=rxRxRv(x、y、z)=rRyyw(x、y、z)=rRzzyx第3章应变分析3.2一点的应变状态在应力分析中，一点的应力状态可以通过应力分析来确定，即由通过该点作无数个截面且每个截面都能得知相关的应力矢量。同样，一点的应变定义为通过此点的物体线段（纤维）长度所有变化的总体以及由此点放射的任何两线之间夹角所有变化的总体。然而，以后会证明，一旦已知通过一点且平行于一组相互垂直坐标轴的三条线上的长度和角度变化，就能计算出物体中通过该点的任何线段的长度变化以及由该点放射的任何两线夹角的变化。新构形P:,rr

6、xy,:,zPxy,z老构形Pu即reOPxreOPxiiiiP则有rru(3.2a)rrur或xiiixu(3.2b)ue位移：(,,)uuuurruveuvw,,weue123123iiO位移u是坐标x的函数，u是定义在物体域V内的一个矢量场，亦称为位移场。根据“连续i性”的假定，变形前连续的物体，变形后仍保持连续，即变形后不发生开裂或重叠现象；也就是说，变形后的点与其对应的变形前的点之间应存在一一对应的互逆关系。故

7、位移场应视为坐标的连续函数。第3章应变分析xxx()xiixxxx(,,)123xxi(,,)yz在连续性假设的前提下，上述函数必须是单值连续的。同理，位移函数也必须是单值连续的。即uxxxxxxxuxxx(,,)(,,)uxyz(,,)iiii123ii123ixxx()xiixxxx(,,)123xxyzi(,,)（3.4）应变状态和应变张量一般而言，整个物体的变形状况决定于该物体上的位移场u的求解；但通常所说的u中既包含有所研物体的变形信息部分又Auud包

8、含有该物体的刚体位移部分，而应变量只与变形有关。A物体内任一点处变形的刻画：过体内一点取微线段作为研究对象；若过该点的任意无穷短线段的长度变化能够确定，且dr过该点的任意两条不同方向的无穷短线段之间夹角的变化也dddrru能确定，则认为这一点的变形状态完全确定了。PuP1.分析无穷短线段在变形前后的长度变化设P的矢径为r，过P点取一微线段PA，其端