浅谈数学创造性思维及其培养

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1、浅谈数学创造性思维及其培养中学数学解题中的“创造性思维”是一种常见的思想方法。华罗赓教授曾十分倡导这种方法。他说：“先足够地退到我们容易看清问题的地方，说透了，钻透了，然后再上去。”这种思维方法的特征就是把一般的形式转化为特征的情形，本文将根据数学特殊情况的位置及性质。来逐一探讨它们在解题中作用以及如何培养学生的创造性思维方面的功能。一、从一道证明题谈起例1、已知函数f(x)不恒为零，满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R),y∈R),证明：f(x)为偶函数。分析：欲证f(x)为偶函数，即对式子进行特殊的“赋值

2、”。令x=0得:f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)(1)欲证f(y)=f(-y)，即证f(y)-f(-y)=0结合（1）式中知只要f(0)=1即可又令y=0,即f(x)+f(x)=2f(x)f(0),即f(x)．[f(0)-1]=0此式对一切x成立，f(x)不恒为,故f(0)=1.本题证题目的关键在与根据所证结论的特征，有目的的赋位。对于一般问题，我们可以有目的进行赋值，可以培养学生创造性思维的目的性．16例2：P为△ABC的边BC上的任一点，作PE//AB,PF//AC.设S△ABC＝1．求证：S△BPF’S△PCE’S四边

3、形APE中至少有一个不少于4/9．证明：如图1所示，作△ABC的部分，A1、A2、B1、B2、G1、G2均为所在边的三等分点，所以S△ACB＝S△CCG＝S△CGB＝S△BGBS△CBA＝S△CAG＝S△GAA＝S△GAB＝S△BB．很明显，如果点P在线段BA．上变动时△PCE完整地盖住了其中四个小三角形。因此S△PCE≥4/9．对称地，如果点P落在线段A2C上，则S△BPF≥4/9．很明显，如果点p'在线段BA.上变动时ΔPCE完整地盖住了其中四个小三角形。因此SΔPCE>4/9.对称地，如果点P落在线段A2C上则，SΔBPE>4

4、/9.余下只讨论点P在线段A1A2中变动的情形，利用平行线的最基本的性质可证：ΔFC2I≌ΔNJG.这说明图中划斜线的二个三角形面积相等。图1又因为ΔEJB2≌ΔMA1P≌ΔMGI。这说明图中所画方格的两个万角形面积相等。将四边形AFPE中△NJG剪下来拼到△FG216I上；把△MGI剪下拼到△EJB2上，我们看出：S四边形AFPE＝SΔAB2C2S四边形GMPN＝4/9＋S四边形GMPN≥4/9数学题中的创造，对每一个学生来说都有着巨大的潜力，关键教师在于平时教学中要有意识地培养这种数学解题的创造意识，要鼓励学生“别出心裁”。由于

5、在解题过程中，经常有外部的突然发现的解决方法，而顿悟和“预感”，这种突然解决问题的现象，我们称之为创造。这种创造是有一定的条件，不是凭空而来，这种创造取决于学生所学知识的积累，取决于以前的分析、综合活动，取决于学生主体所达到数学逻辑概念的概括水平，以及数学“直觉”这一独特的“智慧视力”。二、创造几何图形。众所周知，数与形有着密不可分的联系，在一定的条件下，它们可以互相转化，许多数是关系可以用几何图形来实现。例如a+b,a-b（a>b）可以实现为两条线段长的和与差，以下列举几个代数式（a>0，b>0,c>0）与几何定理相对应关系：勾股

6、定理及逆定理相似三角形对应成比例平行线截割定理相交弦玄定理，圆幂定理等等a2+b2=c2a／b＝c/d或ad=bc用这些基本的对应关系为“元件”16，可以将一些代数问题的数量关系，巧构一个辅助图形，以利用几何知识来解决问题。这实质上创造了代数问题的一个集合摸型来转化命题，使问题容易处理。例3：设正数x、y、z满足方程组X2+xy+=25+z2=9x2+xz+z2=16试求xy+2yz+3xa的值。解：本题若按照常规方法去解三元二次方程组，再用代值法给代数式的值，并不容易。我们从右边的数字可看出：25＝52，9＝32，16＝42，3、

7、4、5符合勾三股四弦五，因此我们创造一个三角形，使它的边分别为3、4、5．我们原方程组变形为：X2+（）2－2x()cos150°=52(1)()2+z2=32(2)z2+x2+2xzcos120°=42(3)应用余弦定理和勾股定理创造一个图形如下：16设正数x、y已知，由（1）式作仗ΔOAB，使OA＝x，OB＝Y，＜AOB＝150°，则AB＝5；由（2）式作ΔBOC使OC＝z,∠BOC＝90°，则BC＝3；连结AC，则∠AOC＝120°，且由（3）式知AC＝4，在ΔABC中，因AB2＝BC2＋AC2，故∠ACB＝90°。所以SΔA

8、BC＝6，又SΔABC＝SΔAOB＋SΔCOA=x()sin150°+()z+xzsin120°=++=(xy+2yz+3xz)即xy+2xz+3xz+6×=例4．已知a、ß、γ均为锐角，且cos2a+cos2ß+cos2γ+1=0.