2014-2015学年高中数学（人教A版）选修21练习243直线与抛物线的位置关系.doc

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1、第二章　2.4　第3课时一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]　C[解析]　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是(　　)A．(2，－1)　　　　　B．(1，－1)C．(，－)D．(，－)[答案]　A[解析]　y＝x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是(

2、　　)A．12B．－12C．3D．－3[答案]　D[解析]　设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D.4．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]　B[解析]　由定义

3、AB

4、＝5＋2＝7，∵

5、AB

6、min＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若

7、AB

8、＝

9、4，则AB的中点的纵坐标是(　　)A．1B．2C.D．[答案]　D[解析]　如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得

10、AA′

11、＋

12、BB′

13、＝

14、AB

15、＝4，

16、PQ

17、＝＝2，又

18、PQ

19、＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

20、

21、＋

22、

23、＋

24、

25、等于(　　)A．9　　B．6　　C．4　　D．3[答案]　B[解析]　设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为＋＋＝0

26、，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有

27、

28、＋

29、

30、＋

31、

32、＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，量得水面宽8m，当水面升高1米后，水面宽度是________m.[答案]　4[解析]　设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2m时，量得水面宽8m，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p，∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，水面升高1m时，即y＝－1时，x＝±2.则水面宽为4m.8．(2014·吉林省吉林市二模)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线

33、准线上一动点，A在抛物线上，且

34、AF

35、＝4，则

36、PA

37、＋

38、PO

39、的最小值是__________________．[答案]　2[解析]　由

40、AF

41、＝4及抛物线定义得A到准线的距离为4.∴A点横坐标为－2，∴A(－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以

42、PA

43、＋

44、PO

45、的最小值为：

46、AB

47、＝＝2.三、解答题9．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.[解析]　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程设

48、为：x＝my＋代入抛物线方程得：y2－2pmy－p2＝0若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，所以点C的坐标为(－，y2)，故直线CO的斜率为：k＝＝＝，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点．10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[解析]　(1)如图所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1

49、＋y2＝－.∵A，B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2.∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝

50、ON

51、

52、y1

53、＋

54、ON

55、

56、y2

57、＝

58、ON

59、·

60、y1－y2

61、，∴S△OAB＝·1·＝.∵S△OAB＝，∴＝，解得k＝±.一、选择题11．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)A.　　　B．2　　　C．　　　D．[答案]　C[解析]　双曲线的渐近线

62、方程为y＝±x.∵渐近线与y＝x2＋1相切，∴x2＋x＋1＝0有两相等根，∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2，∴