直线与抛物线的位置关系课件（人教a版选修21）（1）

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1、了解直线与抛物线的位置关系，会解决直线与抛物线相交的弦长及有关问题．能解决简单的综合应用问题．重点：直线与抛物线相交的问题．难点：有关抛物线综合应用问题．①若k≠0，当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．②若k＝0，则直线y＝b与抛物线y2＝2px(p>0)相交，有一个公共点．特别地，当直线l的斜率不存在时，设为x＝m，则当m>0时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，与抛物线相切，有一个公共点；当m<0时，与抛物线相离，无公共点．

2、1．直线与抛物线公共点的个数可以有．2．过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝，y1y2＝.3．由抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB两端点，向准线作垂线、垂足分别为C、D，则∠CFD＝.0个、1个或2个x1＋x2＋p－p290°4．直线y＝kx－1与抛物线y2＝x只有一个公共点，则k的值的集合为．[解析]平行于轴时，k＝0只有一个公共点；k≠0时，将x＝y2代入y＝kx－1中消去x得ky2－y－1＝0，由Δ＝0得，k＝－.[例1]　已知抛物线y2＝－2x，过点P(1,1

5、)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与c有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[分析]直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．[点评]　直线l与抛物线c联立方程组中Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，称l与c相交、相切、相离．已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．[解析]当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A(0,2)可知，直线l就是y轴，其方程为x＝0.得y2＝0.因此，此时直线l与抛物线C只有一个公共点O(0,0)．如果直

6、线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋2.这个方程与抛物线C的方程联立得方程组，[例2]　求抛物线y2＝64x上的点到直线4x＋3y＋46＝0的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上点的坐标．[分析]本题可应用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最小值；也可以转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点(相切)的直线到已知直线的距离．已知点P是抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最小的点，则点P的坐标为________．[答案](1,1)[例3]　过抛物线y2＝2x的顶点作互相垂直的弦OA、OB.(1)求A

7、B中点的轨迹方程；(2)证明AB与x轴交点为定点．[分析]AB中点由A、B确定，而A、B由OA的斜率确定，可通过参数求轨迹方程．(2)只要写出直线AB的方程，即能看出过定点．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.[例4]　顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为_________________________________________________________________

8、_______．[答案]y2＝12x或y2＝－4x[解析]设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)①直线方程变形为y＝2x＋1②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则解得a＝12，或a＝－4，∴所求抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－4x.过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)A．8　　　B．16　　　C．32　　　D．61[答案]B[解析]由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－

9、12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.[例5]　已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．[例6]　求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．[辨析]本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．一、选择题1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)A．x－4y－3＝0　　B

10、．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝0[答案]C2．已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，l与C有且只有一个公共点，这样的直线l有(　　)A．1条B．2条C．3条D．1条、2条或3条[答案]C[解析]将直线l和C的方程联立，消去y得k2x2＋