《数值分析》杨大地答案(第五章).docx

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1、数值分析第5章5.1填空题（1）用二分法求方程x3+x-1=0在[0,1]内的根，迭代一次后，根的存在区间为[0.5,1].迭代两次后根的存在区间为[0.5,0.75]；（2）设fx可微，则求方程x=fx根的Newton迭代格式为xk+1=fxk-f'xkxk1-f'xk;（3）φx=x+C(x2-5),若要使用迭代格式xk+1=φ（xk）局部收敛到α=5,则C取值范围为-√5/5

2、λk=13xk2-2xk-1（5）迭代格式xk+1=23xk+1xk2收敛于根α=33，此迭代格式是二阶收敛的。5.3方程x3-9x2+18x-6=0,xϵ[0,+∞)的根为正实根，试用逐次扫描法（h=1），找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01.解：由上式为一元三次方程可知，方程最多存在3个解。由于xϵ0,+∞，因此使用逐次扫描（h=1）构建下表。x01234567f(x)-642-6-14-16-622由零点定理可知，方程根存在的区间为：（0,1），（2,3），（6,7）。对

3、最大根区间（6,7）使用二分法构建下表：kakbkxkf(xk)//批注0676.55.375//先求fa+b2166.56.25-0.92188//再求fa、fa+b2，根据计算结果的符号，判断根在哪个区间【要求两个根分别为1正、1负】，进而继续后续的循环计算26.256.56.3752.36.256.3756.31250.46.256.31256.28125-0.2033456.281256.31256.0.66.281256.6.-0.0207176.6.6.0.86.6.6.0.96.6.6.0.1

4、06.6.6.-0.00925116.6.6.-0.00352由上表可知，最大正根的近似值为α≈6.+9.=6.28979≈6.29。5.5用迭代法求x3-2x-5=0的正根，简略判断一下三种迭代格式：（1）xk+1=xk3-52;（2）xk+1=5xk2-2;（3）xk+1=32xk+5;//P93定理5.6在x0=2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根，精度ε=10-4.解：由（1）式迭代函数为g1x=x3-52可得导数为g1'(x)=32x2；因为g1'(2)=6>1，所以（1）式在x0=2附近不收

5、敛。由（2）式迭代函数为g2x=5x2-2可得导数g2'(x)=-10xx2-22；因为g2'(2)=5>1，所以（2）式在x0=2附近不收敛。由（3）式迭代函数为g3x=32x+5，g31.5=2，g32.5=2.154，为单调递增函数；因为g3x的导数为g3'(x)=232x+5-23，g3'(2)=0.154<1，且g3'(x)在x=2附近连续，所以（3）式在x0=2附近收敛。把x0=2带入（3）式，得到如下表格：k0123456xk22.080082.092352.094222.094502.094

6、542.09455所以当k=6时，x*≈2.0945.5.6方程x=e-x.（1）证明它在（0,1）区间有且只有一个实根；（2）证明xk+1=e-xk,k=0,1,⋯，在（0，1）区间内收敛；（3）用Newton迭代法求出此根，精确到5位有效数字。（1）证明:设fx=x-e-x,则f'x=1+e-x恒大于0；∵fx在（0,1）的导数恒大于0，∴fx在（0,1）单调递增。又∵f0=-1，f1=1-1e=0.63212;∴x在（0,1）有且只有一个实根。（2）证明：对于xk+1=e-xk,k=0,1,⋯的迭代函

7、数为gx=e-x；∵gx在（0，1）区间内单调递减，且g0=1，g1=1e∴gx∈（1e，1）⊂（0，1）∵

8、g'x

9、=e-x在（0，1）单调递减，且

10、g'0

11、=1，∴xk+1=e-xk,k=0,1,⋯，在（0，1）区间内收敛。（3）设fx=x-e-x,则f'x=1+e-x，根据Newton迭代法公式有：xk+1=xk-f(xk)f'(xk)=xk-xk-e-xk1+e-xk，并设初值x0=0，则xk的值如下表所示：k01234xk00.50.0.0.所以当k=4时，x*≈0.56714