《数值分析》第五章答案

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1、习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。(1)左矩形公式：(2)右矩形公式：(3)中矩形公式：解：(1)，(2)，，(3)法1，-15-法2可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式满足，，则有，于是1．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1）；（2）。解：（1）当时，左=1，右=1+0=1，左=右；当时，左，右=，左=右；当时，左=，右=1，左右，代数精度为1。（2）当时，左=2，右=2，左=右；-15-当时，左=0，右=，左=右；当时，左，右，左=右；当时，左，右，左=右；当时，左，右，左右。代数精度为3。1．确定下列公式中

2、的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。（1）；（2）；（3）。解：当时，左，右，左=右；当时，左，右，当时，左，右；要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当、满足-15-，求积公式（1）：（A）求积公式（2）：（B）当时，（A）的左端为1。（A）的右端（B）的右端（A）和（B）的代数精度均为2。（2）当时，左，右当时，左，右当时，左，-15-右要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当当时，左右当时，左，的系数。右，-15-其中的系数。因而代数精度为3。5．设函数由下表给出：1.61.82.02..22.42.64.9536.05

3、07.3899.02511.02313.4642.83.03.23.43.63.816.44520.08624.53329.96436.59844.701解：1.82.02.22.42.62.83.03.23.46.0507.3899.02511.02313.46416.44520.08624.53329.964(1)复化梯形公式，，（2）-15-（3）Romberg算法7．试用复化梯开公式计算曲线在区间[]上这一段的弧长，取-15-。解：，0-15-[-15-所求弧长为9．利用积分计算时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超过

4、。解：，，，，，要使只要取答：取950个等距节点，则有-15-方法210．用Romberg方法求，要求误差不超过。从所取节点个数与上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。解：将区间[2，8]作16等分，2，2+，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,-15-实际上12．用3点Gauss-Legendre公式求。解：三点Gauss公式-15-21．根据下列的数值表：1.201.241.281.321.362.572152.911933.341353.903354.67344解：，，-15-实际误差实际误差-15--15-