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《《数值分析》杨大地-答案(第八章).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数值分析第8章数值积分与数值微分8.1填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式abf(x)dx≈j=0nAjf(xj)的代数精度至少是n，最高不超过2n+1。【注：第1空，见定理8.1】（2）梯形公式有1次代数精度，Simpson公司有3次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】（3）求积公式0hf(x)dx≈h2f0+fh+ah2f'0-f'(h)中的参数a=1/12时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为3。解：令f(x)=1,x,x2带入有，h21+1+ah20-0=hh20+h+ah21-1=12h2h20+h2+
2、ah20-2h=13h3//注：x的导数=1解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。∴积分公式为：0hf(x)dx≈h2f0+fh+h212f'0-f'(h)令f(x)=x3带入求积公式有：h20+h3+h2120-3h2=14h4，与f(x)=x4的定积分计算值14h4相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。令f(x)=x4带入求积公式有，h20+h4+h2120-4h3=16h5，与f(x)=x5的定积分计算值15h5不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。8.2确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其
3、代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。解题思路：按照P149中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点xn的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点Xn+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n次的代数精度。（1）02hf(x)dx≈A0f0+A1fh+A2f(2h)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A0、A1、A2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】A0+A1+A2=2hA1h+A22h=122h2A1h2+A22h2=132h3
4、求解得A0=13h，A1=43h，A2=13h，∴求积公式为：02hf(x)dx≈13hf0+43hfh+13hf(2h)∵该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，//注：参见P149定理8.1∴该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)=x3，代入求积公式有：43hh3+13h2h3=4h4∵函数f(x)=x3的定积分结果为：02hx3dx=142h4=4h4，与求积公式计算值相等，∴该求积公式具有3次代数精度。令f(x)=x4，代入求积公式有：43hh4+13h2h4=203h5∵函数f(x)=x4的定积分结果为02hx4d
5、x=152h5-05=325h5，与求积公式计算值不相等，∴该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。（2）-11f(x)dx≈Af-1+2fx1+3f(x2)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A、X1、X2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】A1+2+3=2A-1+2x1+3x2=0A-12+2x12+3x22=1313--13=23求解得A=13，x1=0.6899，x2=-0.1260，或A=13，x1=-0.2899，x2=0.5266∴求积公式为：求积公式1：-11fxdx≈13f-1+2f0.6899+3
6、f-0.1260求积公式1：-11f(x)dx≈13f-1+2f-0.2899+3f0.5266∵该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，//注：参见P149定理8.1∴该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)=x3代入求积公式1有：13-13+20.68993+3-0.12603=-0.2245令f(x)=x3代入求积公式2有：13-13+2-0.28993+30.52663=-0.2928∵函数f(x)=x3的定积分结果为：-11x3dx=1414—-14=0，与求积公式计算值均不相等，∴该求积公式的最高代数精度为2次代数
7、精度。（3）-11f(x)dx≈A1f-1+A2f-13+A3f(13)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解A1、A2、A3共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】A1+A2+A3=1--1=2A1-1+A2-13+A313=1212--12=0A1-12+A2-132+A3132=1313--13=23求解得A1=12，A2=0，A3=32，∴求积公式为：-11f(x)dx≈12f-1+32f(13)∵该求积公式对3个相异节点1,x,x2均有余项Ef=0，//注：参见P149定理8.1∴该求积公式至少具有2次代数精度。
8、令f(x)=x3，代入求积公式有：12-13+32133=-0.4444∵函数f(x)=x3的定积分结果为：-11x3dx=1414—-14=0，与求积公式计算值不
